Компанейские числа

Компанейские числа — это числа, чьи аликвотные суммыформируют циклические последовательности, которые начинаются изаканчиваются одним и тем же числом. Являются обобщением совершенныхчисел и дружественных чисел. Первые две компанейские последовательностиили компанейские цепи были обнаружены и названы бельгийским математикомПолом Пуле в 1918 году. В компанейской последовательности каждое числоявляется суммой собственных делителей предыдущего числа, т.е. эта суммаисключает само предыдущее число.
 Период последовательности или порядок множества компанейских чисел(такжекаждого числа из этого множества) - это количество чисел в этом цикле.
 Если период последовательности равен 1, то число является компанейскимчислом порядка 1 или совершенным числом, например, собственные делители6 равны 1, 2 и 3, их сумма равна 6. Пара дружественных чисел - этомножество компанейских чисел порядка 2, состоящее, соответственно издвух элементов. Нет известных компанейских чисел порядка 3.
 У всех ли чисел аликвотные последовательности рано или поздно замыкаютсяна компанейском числе конечного порядка, либо на попадают на простое (и,следовательно, замыкаются на 1), или, что то же самое, существуют личисла, аликвотная последовательность которых никогда не заканчивается и,следовательно, растет неограниченно - это открытый вопрос математики.

Пример


 Пример с периодом 4:

 Сумма собственных делителей 1264460 (=225173719)это:

 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 +14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 +632230 = 154786


 Сумма собственных делителей 1547860 (=225193401)это:

 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 +1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 +773930 = 1727636


 Сумма собственных делителей 1727636 (=22521829) это:

 1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 =1305184


 Сумма собственных делителей 1305184 (=2540787) это:

 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 =1264460.
 Таким образом аликвотная последовательность числа 1264460 - это 1547860,1727636, 1305184, 1264460, 1547860...

Список известных компанейскихчисел


 Классификация всех известных компанейских чисел по состоянию на ноябрь2015 года по длине соответствующей аликвотной последовательности:
Длина последовательностиКоличество последовательностей
1 (Совершенные числа)49
2 (Дружественные числа)1,007,478,796
41581 (Июнь 2017)
51
65
84
91
281

Поиск компанейских чисел с помощью теорииграфов


 Аликвотная последовательность может быть представлена в видеориентированного графа Gn,s, для заданного n, где s(k) - суммасобственных делителей k. Цикл в Gn,s представляет собойкомпанейские числа в интервале [1,n]. Два особых случая - это петли,представляющие собой совершенные числа и циклы длиной два,представляющие дружественные пары.