Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Свёртка Дирихле

 В математике Свёртка Дирихле — это бинарная операция,определённая для арифметических функций, используемая в теории чисел.Она была изобретена и исследована немецким математиком Петером ГуставомЛеженом Дирихле.

Определение


 Если и  — две арифметические функции (то есть функции, отображающиемножество натуральных чисел во множество комплексных чисел), то мы можемопределить новую функцию fg, называемую свёрткой Дирихлефункций и как

(fg)(n)=dnf(d)g(nd)=ab=nf(a)g(b)
 где сумма берётся по всем натуральным делителям числа , или, чтоэквивалентно, по всем парам (a,b) натуральных чисел, произведениекоторых равно .

Свойства


 Множество арифметических функций по поточечному сложению (то естьфункция f+g определяется соотношением (f+g)(n)=f(n)+g(n)) и свёрткаДирихле образуют коммутативное кольцо, или кольцо Дирихле.Единицей кольца будет функция ϵ, определённая какϵ(n)=1, если n=1 и ϵ(n)=0, если n>1. Обратимымиэлементами являются все функции такие, что f(1)0.
 В частности, свёртка Дирихле является ассоциативной:

(fg)h=f(gh),
 дистрибутивной по сложению

f(g+h)=fg+fh=(g+h)f,
 коммутативной,

fg=gf,
 и имеет нейтральный элемент,

fϵ=ϵf=f.
 Для каждой функции , для которой f(1)0 существует функция такая,что fg=ϵ, называемая обращением Дирихле функции .
 Свёртка Дирихле двух мультипликативных функций снова мультипликативна, икаждая мультипликативная функция имеет мультипликативное обращениеДирихле. Статья о мультипликативных функциях содержит некоторые сходныесоотношения свёртки, важные для мультипликативных функций.
 Если  — вполне мультипликативная функция, то f(gh)=(fg)(fh), гдеумножение функций определяется как их поточечная композиция. Свёрткадвух вполне мультипликативных функций не всегда является вполнемультипликативной.

Примеры


 В приведённых ниже формулах используются следующие обозначения

ϵ — единица по умножению кольца.
 1 — это постоянная функция, значения которой равны 1 для всехn. (То есть 1(n)=1.) Запомните, что 1 — это не единицакольца.
1C, где CZ, — индикаторная функция. (То есть1C(n)=1, если nC, иначе равна нулю)
Id — тождественная функция (то естьId(n)=n)
Idk — -я степень тождественной функции. (То естьIdk=nk.)


 Прочие функции можно найти в статье арифметическая функция.

  • 1μ=ϵ (обращение Дирихле единичной функции равно функции Мёбиуса.) Отсюда следует, что


  • g=f1f=gμ (формула обращения Мёбиуса).


  • λ|μ|=ϵ, где λ — функция Лиувилля.


  • λ1=1S, где S={1;4;9;16;...} — множество квадратов


  • σk=Idk1, где σk(n)=dndk — сумма -х степеней делителей числа


  • σ=Id1, где σ=σ1 — сумма делителей числа


  • τ=11, где τ=σ0 — число делителей числа


  • Id=σμ


  • 1=τμ


  • τ31=(τ1)2


  • φ1=Id. — обращение соотношения для функции Эйлера.


  • Jk1=Id


  • (IdsJr)J=Js+r


  • σ=φτ. Доказательство: выполним свёртку обеих частей с 1 в тождестве Id=φ1.


  • Λ1=ln, где Λ — функция Мангольдта

ОбращениеДирихле


 Если задана арифметическая функция , то её обращение Дирихле g=f1может быть вычислена рекурсивно (точнее каждое значение g(n)выражается через g(m) для $m Для n=1 g(1)=f1(1) — определена при f(1)0
 И в общем для всех n>1

g(n)=1f(1)dnd<nf(nd)g(d).
g(n) определено, если f(1)0. Таким образом, функция имеетобращение Дирихле тогда и только тогда, когда f(1)0.

РядыДирихле


 Если  — арифметическая функция, то можно определить её ряд Дирихле,производящую функцию как

DG(f;s)=+n=1f(n)ns
 для всех таких комплексных аргументов , для которых ряд сходится.Произведение рядов Дирихле связано с её свёрткой Дирихле следующимобразом:

DG(f;s)DG(g;s)=DG(fg;s)
 для всех , для которых оба ряда слева сходятся, причём хотя бы одинсходится абсолютно (заметим, что просто сходимость обоих рядов слева невлечёт сходимость ряда справа!). Это похоже на теорему сходимости, еслипонимать ряд Дирихле как преобразование Фурье.