Проблема круга Гаусса

Проблема круга Гаусса — задача определения количества точекцелочисленной решётки, попадающих в круг радиуса r с центром вначале координат. Первый успех в решении этой задачи был сделан Гауссом,в честь него и названа проблема.

Проблема


 В круге R\textsuperscript2 с центром в начале координатрадиусом r ≥ 0 необходимо определить количество точек внутрикруга, имеющих вид (m,n), где m и n —целые числа. Поскольку в декартовых координатах уравнение круга задаетсяформулой:x\textsuperscript2 + y\textsuperscript2 = r\textsuperscript2,эквивалентной формулировкой задачи станет вопрос: какое количество парцелых чисел m и n удовлетворяет неравенству

m2+n2r2.
 Если для заданного r обозначить искомое значение черезN(r), то следующий список дает значения N(r)для значений целого радиуса r между 0 и 10:

 1, .

Границы значений игипотезы


 Поскольку площадь круга радиуса r задается формулойπr\textsuperscript2, то следовало бы ожидать, что число точекбудет около πr\textsuperscript2. На самом деле значение слегкабольше этой величины на некоторую поправку E(r)

N(r)=πr2+E(r)
 Поиск верхней границы этой поправки и составляет суть проблемы.
 Гаусс показал, что

E(r)22πr.
 Харди и, независимо, Эдмунд Ландау нашли меньшее значение границы,показав, что

E(r)o(r1/2(logr)1/4),
 в нотации o-малое. Существует гипотеза, что истинное значение равно

E(r)=O(r1/2+ε).
 Если переписать последнее выражение в виде\textbarE(r)\textbar ≤ Cr\textsuperscriptt,то текущие границы числа t равны

12<t131208=0.6298,
 где нижняя граница выведена Харди и Ландау в 1915 году, а верхняядоказана Мартином Хаксли (Martin Huxley) в 2000 году.
 В 2007 году Силвейн Кэппелл (Sylvain Cappell) и Юлиус Шейнисон (JuliusShaneson) выложили в arXiv статью, содержащую доказательство границыO(r\textsuperscript1/2+ε).

Точноепредставление


 Значение N(r) можно представить как сумму некоторыхпоследовательностей. Если использовать функцию округления вниз, тозначение может быть выражено как

N(r)=1+4i=0(r24i+1r24i+3).
 Много проще выглядит представление с использованием функцииr\textsubscript2(n), которая определяется как количествоспособов представить число n в виде суммы двух квадратов. В этомслучае

N(r)=n=0r2r2(n).

Обобщения


 Хотя начальная формулировка задачи говорила о целочисленных решетках вкруге, нет причин останавливаться только на круге. Можно ставить задачунахождения числа точек решетки в других фигурах или конусах. «Проблемаделителей» Дирихле эквивалентна данной задаче при замене кругагиперболой. Можно также распространить задачу на большие размерности, иговорить о числе точек внутри n-мерной сферы или другого объекта. Можноотказаться от геометрического представления проблемы и перейти кдиофантовым неравенствам.

Проблема круга для взаимно простыхчисел


 Другим обобщением может служить вычисление количества взаимно простыхцелых решений m и n уравнения

m2+n2r2.
 Эта задача известна как проблема круга для взаимно простыхчисел или проблема круга для примитивных чисел Если обозначитьчисло таких решений через V(r), то V(r) длямалых целых значений радиуса r равны

 0, , \ldots .
 Используя те же самые идеи, что и для обычной проблемы Гаусса, и исходяиз факта, что вероятность взаимной простоты двух чисел равна6/π\textsuperscript2, относительно легко показать, что

V(r)=6πr2+O(r1+ε).
 Как и в обычной постановке, задача для взаимно простых чисел заключаетсяв уменьшении показателя экспоненты в поправке. На настоящее время лучшимизвестным показателем является 221/304 + ε, если принять гипотезуРимана. Без принятия гипотезы Римана наилучшей верхней границей является

V(r)=6πr2+O(rexp(c(logr)3/5(loglogr2)1/5))
 для некоторой положительной постоянной c.
 В частности, неизвестны границы поправки вида 1 − ε для любогоε \textgreater 0, если не принимать гипотезу Римана.