Суммирующая функция делителей

Суммирующая функция делителей в теории чисел — функция,являющаяся суммой функции делителей. Функция часто используется дляисследования асимптотического поведения дзета-функции Римана. Различныеисследования асимптотического поведения функции делителей иногданазывают проблемами делителей.

Определение


 Суммирующая функция делителей определяется как:

D(x)=nxd(n)=j,kjkx1,
 где

d(n)=σ0(n)=j,kjk=n1 — функция делителей.Функция делителей считает число путей, какими целое число n можетбыть записано в виде произведения двух целых чисел.
 В более общем виде её можно определить как

Dk(x)=nxdk(n)=mnxdk1(n),
 где d\textsubscriptk(n) определяет число путейпредставления числа n в виде произведения k чисел. Эточисло может быть представлено визуально как число узлов решетки,ограниченных гиперболической поверхностью в k измерениях. Тогда,при k=2, D(x)=D\textsubscript2(x)представляет число точек квадратной решетки, ограниченных осямикоординат и гиперболой jk = x. Эта фигура грубо может бытьпредставлена как гиперболический симплекс, что позволяет нам получитьальтернативный путь для выражения D(x) и более простойпуть вычисления за время O(x):

D(x)=k=1xxk=2k=1uxku2,где u=x
 Если в этом контексте гиперболу заменить окружностью, получится задачавычисления похожей функции, которая известна как проблема круга Гаусса.

Проблема делителейДирихле


 Нахождение законченного выражения для этой суммы выглядит невозможным,но можно дать аппроксимацию, которую несложно найти. Дирихле показал,что

D(x)=xlogx+x(2γ1)+Δ(x)$,где\gammaпостояннаяЭйлераМаскерони,анеасимптотическаясоставляющаяравна\Delta(x) = \mathcal{O}\left(\sqrt{x}\right).$
 Точная формулировка проблемы делителей Дирихле состоит внахождении нижней грани всех значений θ, для которых

Δ(x)=O(xθ+ϵ)
 выполняется для любого ϵ>0. К 2006 году проблема оставаласьнерешённой.
 Секция F1 нерешённых проблем в теории чисел даёт обзор, чтоизвестно и что остается неизвестным о проблеме делителей Дирихле ипроблеме круга Гаусса.

  • В 1904 году Вороной доказал, что оценка отклонения может быть улучшена до O(x1/3logx).
  • В 1916 году Харди показал, что infθ1/4. В частности, он продемонстрировал, что для некоторой постоянной K, существуют такие x, что Δ(x)>Kx1/4 и такие x, что Δ(x)<Kx1/4.
  • В 1922 году Йоханнес ван дер Корпут улучшил оценку Дирихле до infθ33/100.
  • В 1928 году Йоханнес ван дер Корпут доказал, что infθ27/82.
  • В 1950 году Чи Цун-тао (Chih Tsung-tao) и, независимо, в 1953 году Ричерт (H. E. Richert) доказали, что infθ15/46.
  • В 1969 году Григорий Колесник показал, что infθ12/37
  • В 1973 году Григорий Колесник показал, что infθ346/1067.
  • В 1982 году Григорий Колесник показал, что infθ35/108.
  • В 1988 году Г. Иванец и Модзоки (C. J. Mozzochi) доказали, что infθ7/22.
  • В 2003 году Мартин Хаксли улучшил оценку показав, что infθ131/416.

 Таким образом, истинное значение infθ лежит где-то между 1/4 и131/416 (примерно 0,3149). Широко распространена гипотеза, что значениеравно в точности 1/4. Прямые вычисления Δ(x) приводят к этойгипотезе, поскольку Δ(x)/x1/4 оказывается почти нормальнымраспределением с дисперсией 1 для x вплоть до 10\textsuperscript16.

Обобщенная проблемаделителей


 В обобщённом случае

Dk(x)=xPk(logx)+Δk(x)
 где Pk — многочлен степени k1.
 Используя простые оценки можно показать, что

Δk(x)=O(x11/klogk2x)
 для целых k2. Как и в случае k=2, нижняя граница неизвестна.Если обозначить через θk минимальное значение, для котороговыполняется

Δk(x)=O(xθk+ε)
 для любого ε>0, то известны следующие результаты:

  • Вороной и Ландау: θkk1k+1 для k=2,3,
  • Харди и Литтлвуд: θkk1k+2 для k=4,5,
  • Харди показал, что θkk12k для k=2,3,
  • Титчмарш предположил, что θk=k12k.

ПреобразованиеМеллина


 Оба члена можно выразить через преобразование Меллина:

 D(x)=\{frac\{1\}\{2\{pi i\}\{int\_\{c-i\{infty\}\^\{c+i\{infty\}
 \{zeta\^2(w) \{frac\{x\^w\}\{w\}\{, dw
 для c>1. Здесь, ζ(s) — дзета-функции Римана.
 Подобным же образом

 \{Delta(x)=\{frac\{1\}\{2\{pii\}\{int\_\{c\^\{prime-i\{infty\}\^\{c\^\{prime+i\{infty\}
 \{zeta\^2(w) \{frac \{x\^w\}\{w\}\{,dw
 с $0 В общем случае

 D\_k(x)=\{frac\{1\}\{2\{pi i\}\{int\_\{c-i\{infty\}\^\{c+i\{infty\}
 \{zeta\^k(w) \{frac \{x\^w\}\{w\}\{,dw
 и то же самое для Δk(x), for k2.