Числа Каталана

Числа Каталана — числовая последовательность, встречающаясяво многих задачах комбинаторики. Последовательность названа в честьбельгийского математика Каталана, хотя была известна ещё Л. Эйлеру.
 Числа Каталана Cn для n=0,1,2, образуют последовательность:

 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900,2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190,6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324,4861946401452, \ldots

Определения


n-е число Каталана Cn можно определить несколькимиэквивалентными способами, такими как:

  • Количество разбиений выпуклого (n+2)-угольника на треугольники непересекающимися диагоналями.
  • Количество правильных скобочных последовательностей длины 2n, то есть таких последовательностей из n левых и n правых скобок, в которых количество открывающих скобок равно количеству закрывающих, и в любом её префиксе открывающих скобок не меньше, чем закрывающих.


 Например, для n = 3 существует 5 таких последовательностей:

 \texttt (()), (), , (), ()
 то есть C3=5.

  • Количество способов соединения 2n точек на окружности n непересекающимися хордами.
  • Количество неизоморфных упорядоченных бинарных деревьев с корнем и n + 1 листьями.
  • Количество всевозможных способов линеаризации декартова произведения 2 линейных упорядоченных множеств: из 2 и из n элементов.

Свойства



  • Числа Каталана удовлетворяют рекуррентному соотношению:
    C0=1 и Cn=i=0n1CiCn1i для n1.


 Это соотношение легко получается из того, что любая непустая правильнаяскобочная последовательность однозначно представима в видеw = (w\textsubscript1)w\textsubscript2, гдеw\textsubscript1, w\textsubscript2 — правильныескобочные последовательности.

  • Есть ещё одно рекуррентное отношение:
    C0=1 и Cn=(2nn)k=0n1Ck(2n2k1nk).


  • Также существует более простое рекуррентное соотношение:
    C0=1 и Cn=2(2n1)n+1Cn1.


  • Производящая функция чисел Каталана равна:
    n=0Cnzn=114z2z.


  • Числа Каталана можно выразить через биномиальные коэффициенты:
    Cn=1n+1(2nn)=12n+1(2n+1n)=(2nn)(2nn1).


 Другими словами, число Каталана Cn равно разности центральногобиномиального коэффициента и соседнего с ним в той же строкетреугольника Паскаля.

  • Асимптотически Cn4nn3/2π.