Числа Каллена

 В математике числами Каллена называют натуральные числа видаn2n+1 (пишется C\textsubscriptn). ЧислаКаллена впервые были изучены Джеймсом Калленом в 1905. Числа Каллена —это особый вид чисел Прота.

Свойства


 В 1976 году Кристофер Хулей (Christopher Hooley) показал, что Плотностьпоследовательности положительных целых nx, для которыхC\textsubscriptn простое, есть o(x) для x. Вэтом смысле почти все числа Каллена составные. Доказательство КристофераХулей было переработано математиком Хирми Суяма чтобы показать, что оноверно для любой последовательности чисел n2n+a+b гдеa и b целые числа, и частично также для чисел Вудала. Всеизвестные простые числа Каллена соответствуют n,равному:

 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419,361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 .
 Есть предположение, что имеется бесконечно много простых чисел Каллена.
 К августу 2009, наибольшим известным простым числом Каллена было667988126679881+1. Это мегапростое число с 2 010 852знаками было открыто соучастником PrimeGrid из Японии.
 Числа Каллена C\textsubscriptn делятся на p=2n1, еслиp простое число вида 8k3. Это следует из малой теоремы Ферма,так что если p простое нечётное, то p делитC\textsubscriptm(k) для каждогоm(k)=(2kk)(p1)k (для k \textgreater 0). Было такжепоказано, что простое число p делит C(p+1)/2, когда символЯкоби (2p) есть −1, и что p делитC(3p1)/2, когда символ Якоби (2p) есть +1.
 Неизвестно, существует ли простое число p, такое чтоC\textsubscriptp тоже простое.

Обобщения


 Иногда обобщёнными числами Каллена называют числа видаnbn+1, где n + 2 \textgreater b. Еслипростое число может быть записано в такой форме, его называютобобщённым простым числом Каллена. Числа Вудала иногда называютчислами Каллена второго рода.
 К февралю 2012 гда наибольшим известным обобщённым простым числомКаллена было 427194113427194+1. Оно имеет 877 069 знаков ибыло открыто соучастником PrimeGrid из США.