Processing math: 100%

Гармоническое число делителя

Гармоническое число делителя (число Оре) —положительное число, среднее гармоническое делителей которого являетсяцелым числом. Введено Ойстином Оре в 1948 году. Первые несколько чиселОре:

 , \ldots.
 Например, число Оре 6 имеет делители 1, 2, 3 и 6. Их гармоническоесреднее является целым числом:

411+12+13+16=2.
 Число 140 имеет делители 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 и 140. Ихгармоническое среднее:


 \texttt\{frac\{12\}\{\{frac\{1\}\{1\}+\{frac\{1\}\{2\}+\{frac\{1\}\{4\}+\{frac\{1\}\{5\}+\{frac\{1\}\{7\}+\{frac\{1\}\{10\}
 +\{frac\{1\}\{14\}+\{frac\{1\}\{20\}+\{frac\{1\}\{28\}+\{frac\{1\}\{35\}+\{frac\{1\}\{70\}+\{frac\{1\}\{140\}\}=5
 5 является целым числом, а значит 140 является числом Оре.

Числа Оре и совершенныечисла


 Для любого числа M произведение гармонического среднего и среднегоарифметического его делителей равно самому числу M, чтонепосредственно следует из определений. Таким образом, M являетсячислом Оре с гармоническим средним делителем k в том и только в томслучае, когда среднее делителей является частным от деления M на k.
 Оре показал, что любое совершенное число является гармоническим числомделителя. Так как сумма делителей совершенного числа M в точностиравна 2M, среднее делителей равно M(2τ(M)), где τ(M)означает число делителей числа M. Для любого M(τ(M)) нечётнатогда и только тогда, когда M является полным квадратом, в противномслучае каждому делителю d числа M можно сопоставить другойделитель — M/d. Но никакое совершенное число не может быть полнымквадратом, это следует из известных свойств чётных совершенных чисел, анечётные совершенные числа (если такие есть) должны иметь множитель видаqα, где α1(mod4). Таким образом, длясовершенного числа M(τ(M)) чётно и среднее делителей являетсяпроизведением M на 2/τ(M). Таким образом, M являетсягармоническим числом делителя.
 Оре высказал предположение, что не существует нечётных гармоническихчисел делителя, кроме 1. Если гипотеза верна, то нечётных совершенныхчисел не существует.

Границы и компьютерныйпоиск


 Показано, что любое нечётное гармоническое число делителя выше 1 должноиметь степень простого делителя больше 10\textsuperscript7, а такжечто любое такое число должно иметь по меньшей мере три различных простыхделителя. Кроме того, установлено, что не существует гармонических чиселделителя, меньших 10\textsuperscript24.
 Предпринимались попытки получить с помощью компьютера список всех малыхгармонических чисел делителя, в результате были найдены всегармонические числа делителя до 2×10\textsuperscript9 и все числа, длякоторых гармоническое среднее не превышает 300.