Processing math: 100%

Числа Армстронга

Самовлюблённое число, или совершенный цифровойинвариант , или число Армстронга — натуральное число,которое в данной системе счисления равно сумме своих цифр, возведённых встепень, равную количеству его цифр. Иногда, чтобы считать числотаковым, достаточно, чтобы степени, в которые возводятся цифры, былиравны m — тогда число можно назвать m-самовлюблённым.
 Например, десятичное число  — число Армстронга, потому что

 + + = 153.

Формальноеопределение


 Пусть n=ki=1dibi1 — число, записываемоеdkdk1...d1 в системе счисления с основанием b.
 Если при некотором m случится так, чтоn=ki=1dim, то n является m-самовлюблённымчислом. Если, сверх того, m=k, то n можно назвать истиннымчислом Армстронга.
 Очевидно, что при любом m может существовать лишь конечное числоm-самовлюблённых чисел, так как, начиная с некоторого k,k9k<10k11.

Упоминания влитературе


 В «Апологии математика» , Г. Харди писал:

 «Существуют только четыре числа (кроме 1), равных сумме кубов цифр,например,

 153 = , 370 = ,
 371 = , 407 = .
 Всё это забавные факты, весьма подходящие для газетных колонок сголоволомками, способные позабавить любителей, но ничего в них незатронет сердце математика.»

Числа Армстронга в десятичнойсистеме


 В десятичной системе существует всего чисел Армстронга. В промежутке 1\textless= N \textless= 10 находится следующее 32 N-значных числаАрмстронга:

 , .
 Самое большое число Армстронга содержит 39 цифр: .

Числа Армстронга в других системахсчисления



  • В троичной системе счисления: \textsubscript3, \textsubscript3, \textsubscript3, \textsubscript3, \textsubscript3, \ldots
  • В четверичной системе счисления: \textsubscript4, \textsubscript4, \textsubscript4, \textsubscript4, \textsubscript4, \textsubscript4, \textsubscript4, \textsubscript4, \textsubscript4, \textsubscript4, \textsubscript4, \ldots

Похожие классычисел


 Иногда терминами «самовлюблённые числа» называют любой тип чисел,которые равны некоторому выражению от их собственных цифр. Например,таковыми могут быть: совершенные и дружественные числа, числа Брауна,числа Фридмана, счастливые билеты и т. п.