Число Кита

 В занимательной математике число Кита — это число из :

 14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788,7385, 7647, 7909, 31331, 34285, 34348, 55604, 62662, 86935, 93993,120284, 129106, 147640, 156146, 174680, 183186, 298320, 355419, 694280,925993, \ldots
 Числа Кита ввёл в 1987. Числа трудно найти, на 2017 год известно только100 таких чисел.

Вводныезамечания


 Чтобы определить, является ли n-значное число N числомКита, строим последовательность чисел, подобную последовательности числаФибоначчи, начинающуюся с n десятичных цифр числа N. Затемпродолжаем последовательность, добавляя в качестве очередного членасумму предыдущих n членов. По определению, N являетсячислом Кита, если N оказывается членом строящейсяпоследовательности.
 В качестве примера рассмотрим 3-значное число N = 197. Это числодаёт последовательность:

1, 9, 7, 17, 33, 57, 107, 197, 361, \ldots
 Поскольку 197 входит в последовательность, 197 является числом Кита.

Определение


 Числом Кита является положительное целое число N, котороепоявляется как член последовательности, заданной линейной рекуррентнойформулой с начальными членами, определяемыми цифрами самого числа. Еслидано n-значное число

N=i=0n110idi,
 последовательность SN образуется из начальных членовdn1,dn2,,d1,d0 и продолжается членами, получаемымикак сумма предыдущих n членов. Если число N появляется впоследовательности SN, то N, говорят, что оно является числомКита. Однозначные числа Кита обладают свойством Кита тривиально и израссмотрения обычно исключаются.

Поиск чиселКита


 Бесконечно или нет число Кита, является в настоящее время предметомспоров. Числа Кита встречаются редко и их трудно найти. Их можно искатьпутём исчерпывающего поиска, и пока не известно более эффективногоалгоритма. Согласно Киту, в среднем ожидается910log2102.99 чисел Кита междупоследовательными степенями 10. Известные результаты эту оценкуподдерживают.

Примеры


 14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788,7385, 7647, 7909, 31331, 34285, 34348, 55604, 62662, 86935, 93993,120284, 129106, 147640, 156146, 174680, 183186, 298320, 355419, 694280,925993, 1084051, 7913837, 11436171, 33445755, 44121607, 129572008,251133297.

По другимоснованиям


 Числа Кита по основанию 12

 11, 15, 1Ɛ, 22, 2ᘔ, 31, 33, 44, 49, 55, 62, 66, 77, 88, 93, 99, ᘔᘔ, ƐƐ,125, 215, 24ᘔ, 405, 42ᘔ, 654, 80ᘔ, 8ᘔ3, ᘔ59, 1022, 1662, 2044, 3066,4088, 4ᘔ1ᘔ, 4ᘔƐ1, 50ᘔᘔ, 8538, Ɛ18Ɛ, 17256, 18671, 24ᘔ78, 4718Ɛ, 517Ɛᘔ,157617, 1ᘔ265ᘔ, 5ᘔ4074, 5ᘔƐ140, 6Ɛ1449, 6Ɛ8515, \ldots

КластерыКита


 Кластер Кита — это числа Кита, из которых одно кратно другому.Например, (14, 28), (1104, 2208) и (31331, 62662, 93993). Возможно,существуют только эти три примера кластеров Кита.