Иррациональная последовательность

 В математике a\textsubscriptn называетсяиррациональной последовательностью, если она обладаетсвойством, что для любой последовательностиx\textsubscriptn положительных целых чисел суммапоследовательности

n=11anxn
 существует и является иррациональным числом. Задача описанияиррациональных последовательностей поставлена Палом Эрдёшем и , которыепервоначально называли свойство быть иррациональной последовательностью«Свойством P».

Примеры


22n образуют иррациональную последовательность. Тем не менее, хотяпоследовательность Сильвестра

 , \ldots
 (в которой каждый член на единицу больше произведения всех предыдущихчленов) также растёт со скоростью , она не образует иррациональнуюпоследовательность. Если положить xn=1, получим

12+13+17+143+=1,
 которая сходится к рациональному числу. Подобным же образом факториалыn! не образуют иррациональную последовательность, посколькупоследовательность xn=n+2 приводит к последовательности срациональной суммой

n=01(n+2)n!=12+13+18+130+1144+=1.

Скоростьроста


 Любая последовательность a\textsubscriptn, котораярастёт со скоростью, такой что

lim supnloglogann>log2
 является иррациональной последовательностью. Сюда входятпоследовательности, которые растут быстрее двойной экспоненты, как инекоторые двойные экспоненциальные последовательности растущие быстрее,чем степень степени двух.
 Любая иррациональная последовательность должна расти достаточно быстро,так что

limnan1/n=.
 Однако не известно, существует ли такая последовательность, в которойНОД любой пары множителей равен 1 (в отличие от степени степени двух) идля которой

limnan1/2n<.

Связанныесвойства


 По аналогии с иррациональными последовательностями, Ханчл определилтрансцендентные последовательности как последовательности целых чиселa\textsubscriptn, такие, что для любойпоследовательности x\textsubscriptn положительных целыхчисел сумма последовательности

n=11anxn
 существует и является трансцендентным числом.