Processing math: 100%

Последовательность Люка

 В математике, последовательностями Люка называют семейство парлинейных рекуррентных последовательностей второго порядка, впервыерассмотренных Эдуардом Люка.
 Последовательности Люка представляют собой пары последовательностей{Un(P,Q)} и {Vn(P,Q)}, удовлетворяющих одному и тому жерекуррентному соотношению с коэффициентами P и Q:

U0(P,Q)=0,U1(P,Q)=1,Un+2(P,Q)=PUn+1(P,Q)QUn(P,Q),n0
V0(P,Q)=2,V1(P,Q)=P,Vn+2(P,Q)=PVn+1(P,Q)QVn(P,Q),n0

Примеры


 Некоторые последовательности Люка носят собственные имена:

  • {Un(1,1)} — числа Фибоначчи
  • {Vn(1,1)} — числа Люка
  • {Un(2,1)} — числа Пелля
  • {Vn(2,1)}
  • {Un(3,2)} — числа Мерсенна
  • {V2n(3,2)} — числа Ферма
  • {Un(1,2)} — числа Якобшталя
  • {Un(2x,1)} — многочлены Чебышёва второго рода
  • {Vn(2x,1)} — многочлены Чебышёва первого рода умноженные на 2

Явныеформулы


 Характеристическим многочленом последовательностей Люка {Un(P,Q)} и{Vn(P,Q)} является:
x2Px+Q. Его дискриминант D=P24Q предполагаетсяне равным нулю. Корни характеристического многочлена

α=P+D2 и β=PD2
 можно использовать для получения явных формул:
Un(P,Q)=αnβnαβ=αnβnDи
Vn(P,Q)=αn+βn. Формулы Виета позволяют такжевыразить P и Q в виде:
P=α+β,
Q=αβ.

Вырожденныйслучай


 Дискриминант D обращается в ноль при P=2S,Q=S2 для некоторогочисла S. При этом выполняется α=β=S и соответственно:
Un(2S,S2)=nSn1,
Vn(2S,S2)=2Sn.

Свойства


DUn=Vn+1QVn1=2Vn+1PVn
Vn=Un+1QUn1=2Un+1PUn
Un+m=UnUm+1QUmUn1=UnVm+UmVn2
Vn+m=VnVmQmVnm
U2n=UnVn=U2n+1Q2U2n1P
V2n=V2n2Qn
U2n+1=U2n+1QU2n