Меандр

Меандр или замкнутый меандр — это замкнутая криваябез самопересечений, которая пересекает прямую несколько раз.Интуитивно, меандр можно рассматривать как дорогу, пересекающую рекумостами в нескольких местах.

Меандр


 Если задана ориентированная прямая L на плоскостиR\textsuperscript2, меандр порядка n — этозамкнутая кривая без самопересечений на R\textsuperscript2,которая поперечно пересекает прямую в 2n точках для некоторогоположительного n. Прямая и кривая вместе образуютмеандровую систему. Говорят, что два меандра эквивалентны, еслисуществует гомеоморфизм всей плоскости, которая переводит L всебя, а один меандр в другой.

Пример


 Меандр порядка 1 пересекает прямую дважды:


Меандровыечисла


 Число различных меандров порядка n называется меандровымчислом M\textsubscriptn. Первые пятнадцать меандровых чисел.

M\textsubscript1 = 1
M\textsubscript2 = 2
M\textsubscript3 = 8
M\textsubscript4 = 42
M\textsubscript5 = 262
M\textsubscript6 = 1828
M\textsubscript7 = 13820
M\textsubscript8 = 110954
M\textsubscript9 = 933458
M\textsubscript10 = 8152860
M\textsubscript11 = 73424650
M\textsubscript12 = 678390116
M\textsubscript13 = 6405031050
M\textsubscript14 = 61606881612
M\textsubscript15 = 602188541928

Меандровыеперестановки


Меандровая перестановка порядка n задаётся на множестве\{1, 2, ..., 2n\} и определяется меандровой системой следующимобразом:

  • Для прямой, ориентированной слева направо, каждое пересечение меандра последовательно помечаются целыми числами, начиная с 1.
  • Кривая с точки пересечения, помеченной 1, ориентируется вверх.
  • Циклическая перестановка без фиксированных точек получается проходом ориентированной кривой через помеченные точки.

 На диаграмме справа меандрическая перестановка порядка 4 задаётсяперестановкой (1 8 5 4 3 6 7 2). Это перестановка, записанная вциклической нотации и не следует путать с линейной нотацией.
 Если π является меандровой перестановкой, то π\textsuperscript2состоит из двух циклов, одна содержит все чётные элементы, другая —все нечётные. Перестановки с такими свойствами называетсячередующимися перестановками. Однако не все чередующиесяперестановки являются меандровыми, поскольку кривые для некоторыхперестановок нельзя нарисовать без самопересечений. Например,чередующаяся перестановка порядка 3 (1 4 3 6 5 2) меандровой неявляется.

Открытыймеандр


 Если задана фиксированная ориентированная прямая L на плоскостиR\textsuperscript2, открытый меандр порядка n— это ориентированная кривая без самопересечений наR\textsuperscript2, которая пересекает прямую в nточках для некоторого положительного целого числа n. Говорят, чтодва открытых меандра эквивалентны, если они гомеоморфны на плоскости.

Примеры


 Открытый меандр порядка 1 пересекает прямую один раз:


 Открытый меандр порядка 2 пересекает прямую дважды:


Открытые меандровычисла


 Число различных открытых меандров порядка n называетсяоткрытым меандровым числом m\textsubscriptn. Первыепятнадцать открытых меандровых чисел .

m\textsubscript1 = 1
m\textsubscript2 = 1
m\textsubscript3 = 2
m\textsubscript4 = 3
m\textsubscript5 = 8
m\textsubscript6 = 14
m\textsubscript7 = 42
m\textsubscript8 = 81
m\textsubscript9 = 262
m\textsubscript10 = 538
m\textsubscript11 = 1828
m\textsubscript12 = 3926
m\textsubscript13 = 13820
m\textsubscript14 = 30694
m\textsubscript15 = 110954

Полумеандр


 Если дан ориентированный луч R на плоскостиR\textsuperscript2, полумеандр порядка n —— это непересекающаяся кривая в R\textsuperscript2, котораяпересекает луч в n точках для некоторого положительного n.Говорят, что два полумендра эквивалентны, если они гомеоморфны наплоскости.

Примеры


 Полумеандр порядка два пересекает луч дважды:


Полумеандровыечисла


 Количество различных полумеандровых чисел порядка n называетсяполумеандровым числом M\textsubscriptn (обычнообозначается надчёркиванием, а не подчёркиванием). Первые пятнадцатьполумеандровых чисел .

M\textsubscript1 = 1
M\textsubscript2 = 1
M\textsubscript3 = 2
M\textsubscript4 = 4
M\textsubscript5 = 10
M\textsubscript6 = 24
M\textsubscript7 = 66
M\textsubscript8 = 174
M\textsubscript9 = 504
M\textsubscript10 = 1406
M\textsubscript11 = 4210
M\textsubscript12 = 12198
M\textsubscript13 = 37378
M\textsubscript14 = 111278
M\textsubscript15 = 346846

Свойства меандровыхчисел


 Существует инъекция из меандровых чисел в открытые меандровые числа:

M\textsubscriptn = m\textsubscript2n−1
 Любое меандровое число может быть ограничены полумеандровыми числами:

M\textsubscriptnM\textsubscriptnM\textsubscript2n
 Для n \textgreater 1 меандрические числа чётны:

M\textsubscriptn ≡ 0 (mod 2)