Последовательность без простых чисел

Последовательность без простых чисел — это последовательностьцелых чисел, не содержащая каких-либо простых чисел. Как правило, приэтом предполагается, что последовательность задана той же рекуррентнойформулой, что и для чисел Фибоначчи, но с другими начальными условиями,и все члены последовательности должны быть cоставными числами, неимеющими общего для всех членов делителя. Таким образом,последовательность этих чисел определяется путём выбора двух составныхчисел a\textsubscript1 и a\textsubscript2, для которыхнаибольший общий делительНОД(a\textsubscript1,a\textsubscript2) = 1, и таких,что для n \textgreater 2 не имеется простых чисел впоследовательности, полученной из формулы

a\textsubscriptn = a\textsubscript\emphn − 1 + a''\textsubscriptn − 2.

ПоследовательностьВильфа


 Наверное, наиболее известная последовательность без простых чисел быланайдена с начальными членами

a\textsubscript1 = 20615674205555510, a\textsubscript2= 3794765361567513 .
 Доказательство, что любой член этой последовательности не являетсяпростым, основывается на периодичности модулей членовпоследовательностей, подобных последовательности Фибоначчи, по конечномунабору простых чисел. Для каждого простого числа из этого набораp позиция, в которой член последовательности делится на p,повторяется по некоторой повторяющейся схеме, а различные простые числаиз набора образуют перекрывающиеся схемы, дающие покрывающее множестводля всей последовательности.

Нетривиальность


 Требование, чтобы начальные члены последовательности были взаимнопростыми, необходимо для нетривиальности последовательности. Если мыпозволим, чтобы два начальных члена делились на некоторое простое числоp (например, положив a1=xp и a2=yp для некоторыхx и y, больших 1), очевидно, что a3=(x+y)p и всепоследующие члены последовательности будут делиться на p. В этомслучае, конечно, все члены последовательности будут составными числами,но по тривиальной причине.
 Порядок начальных значений также важен. В биографии Пала Эрдёша«», написанной , цитируется последовательность Вильфа, но спереставленными начальными значениями. Результирующая последовательностьостаётся свободной от простых чисел только примерно для ста первыхчленов, а 138-ой член с 45 десятичными знаками439351292910452432574786963588089477522344721 является простым .

Другиепоследовательности


 Известны несколько других последовательностей без простых чисел:

a\textsubscript1 = 331635635998274737472200656430763,a\textsubscript2 = 1510028911088401971189590305498785(Последовательность A083104 в OEIS; Грэм, 1964)
a\textsubscript1 = 62638280004239857, a\textsubscript2= 49463435743205655 (Последовательность A083105 в OEIS; Кнут, 1990)
a\textsubscript1 = 407389224418, a\textsubscript2 =76343678551 (Последовательность A082411 в OEIS; Николь, 1999)
 Последовательность этого типа с минимальными начальными членами(известная на текущий момент) найдена Максимом АлександровичемВсемирновым

a\textsubscript1 = 106276436867, a\textsubscript2 =35256392432 (Последоватеьность A221286 в OEIS; Всемирнов, 2004).