Тау число

Тау-число (или refactorable number) — это целоечисло n, делящееся на число своих делителей, или, выражаясьалгебраически, такое n, что τ(n)|n. Первые несколькотау-чисел: 1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88, 96. Например, 18 имеет шесть делителей (1 и 18, 2 и 9, 3 и 6) и делитсяна 6.
 Купер и Кеннеди доказали, что тау-числа имеют асимптотическую плотностьноль. Зелинский доказал, что никакие три последовательных целых числа немогут быть тау-числами. Колтон доказал, что ни одно тау-число неявляется совершенным. Уравнение НОД(n, x) = τ(n)имеет решение только в случае, если n — тау-число.
 Остаются нерешенными несколько проблем относительно тау-чисел. Колтонпоставил вопрос: существуют ли сколь угодно большие n, длякоторых и n, и n + 1 являются тау-числами. Зелинский жезадаётся вопросом: если существует тау-число n0amodm,следует ли из этого, что существует n>n0, такое что nявляется тау-числом и namodm.

История


 Тау-числа были впервые определены Кёртисом Купером (Curtis Cooper) иРобертом Е. Кеннеди в статье, в которой они показали, что тау-числаимеют асимптотическую плотность ноль. Позднее они были переоткрытыСаймоном Колтоном (Simon Colton) с помощью программы, которую он написалдля изобретения и проверки различных определений в некоторых областяхматематики, таких как теория чисел и теория графов. Колтон назвал этичисла «refactorable». Хотя компьютерные программы и обнаруживалидоказательства ранее, это был первый случай, когда программа нашла новуюили ранее незамеченную идею. Колтон доказал много результатов отау-числах, показав бесконечность их числа и несколько условий ихраспределения. Несколько позже Колтон выяснил, что Кеннеди и Купер ужеисследовали эту проблему.