Число Улама

Число Улама — это член целочисленной последовательности,придуманной и названной в свою честь Станиславом Уламом, в 1964.Стандартная последовательность Улама ((1, 2)-числа Улама) начинающаяся сU\textsubscript1 = 1 и U\textsubscript2 = 2. Тогда дляn \textgreater 2, U\textsubscriptnопределяется, как наименьшее целое число, которое является суммой двухразличных более ранних членов последовательности, причем должен бытьтолько один вариант этой суммы, и это число должно быть больше всехпредыдущих.

Примеры


 Из определения вытекает, что 3 это число Улама (1+2); и 4 это числоУлама (1+3). (Тут 2+2 не является вторым представлением 4, потому чтопредыдущие члены должны быть различными.) Число 5 не является числомУлама, потому что 5 = 1 + 4 = 2 + 3. Последовательность начинается, как:

 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62,69, 72, 77, 82, 87, 97, 99, 102, 106, 114, 126, 131, 138, 145, 148, 155,175, 177, 180, 182, 189, 197, 206, 209, 219, 221, 236, 238, 241, 243,253, 258, 260, 273, 282, ... .
 Первые числа Улама, которые также являются простыми числами:

 2, 3, 11, 13, 47, 53, 97, 131, 197, 241, 409, 431, 607, 673, 739, 751,983, 991, 1103, 1433, 1489, 1531, 1553, 1709, 1721, 2371, 2393, 2447,2633, 2789, 2833, 2897, ... .
 Существует бесконечно много чисел Улама, поскольку после добавленияпервых n членов всегда можно добавить еще один элемент: , который будетоднозначно определен, как сумма двух элементов меньше него и мы можемполучить еще меньшие элементы используя подобный метод, поэтомуследующий элемент можно определить, как наименьший среди этих однозначноопределяемых вариантов.
 Улам считал, что числа Улама имеют нулевую асимптотическую плотность,однако, по-видимому, она равна 0.07398.

Скрытаяструктура


 Было замечено , что первые 10 миллионов чисел Улама удовлетворяютсвойству: cos(2.5714474995an)<0 кроме 4 элементов{2,3,47,69} (и это продолжается и далее, как известно, доn=109). Неравенства такого типа обычно верны дляпоследовательностей, обладающих некоторой формой периодичности, нопоследовательность Улама, как известно, не является периодической, иявление не было объяснено. Его можно использовать для быстроговычисления последовательности Улама (см. внешние ссылки).

Обобщения


 Идею можно обобщить как (u, v)-числа Улама, выбрав разные начальныезначения (u, v). Последовательность чисел (u, v)-чисел Улама являетсяпериодичной, если последовательность разностей между последовательнымичислами в последовательности периодическая. Когда v - нечетное числобольше трех, последовательность (2, v)-чисел Улама являетсяпериодической. Когда v совпадает с 1 (по модулю 4) и не менее пяти,последовательность (4, v)-чисел Улама снова периодическая. Однакостандартные числа Улама не являются периодическими.
 Последовательность чисел называется s-аддитивной, если каждое число впоследовательности после начальных 2s-членов последовательности имеетровно s-представлений в виде суммы двух предыдущих чисел. Таким образом,числа Улама и (u, v)-числа Улама являются 1-аддитивнымипоследовательностями.
 Если последовательность формируется путем добавления наибольшего числа суникальным представлением в виде суммы двух более ранних чисел, вместодобавления наименьшего однозначно представимого числа, то результирующаяпоследовательность представляет собой последовательность чиселФибоначчи.