Processing math: 100%

Натуральные числа

Натуральные числа (от  — естественный; естественныечисла) — числа, возникающие естественным образом при счёте (например,1, 2, 3, 4, 5\ldots). Последовательность всех натуральных чисел,расположенных в порядке возрастания, называется натуральнымрядом.
 Существуют два подхода к определению натуральных чисел:

  • натуральные числа — числа, возникающие при подсчёте (нумерации) предметов (первый, второй, третий, четвёртый, ''пятый"\ldots);
  • натуральные числа — числа, возникающие при обозначении количества предметов (0 предметов, 1 предмет, 2 предмета, 3 предмета, '' 4 предмета'', ''5 предметов"\ldots).

 В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, вовтором — с нуля. Не существует единого для большинства математиковмнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считатьли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинствероссийских источников традиционно принят первый подход. Второй подход,например, применяется в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числаопределяются как мощности конечных множеств.
 Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, \ldots) числа кнатуральным не относятся.
Множество всех натуральных чисел принято обозначать символомN (от  — естественный). Множество натуральных чиселявляется бесконечным, так как для любого натурального числа n найдётсянатуральное число, большее чем n.
 Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теоремарифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводитсяполезное понятие расширенного натурального ряда, включающегонуль. Расширенный ряд обозначается N0 или Z0.

Аксиомы, позволяющие определить множество натуральныхчисел


Аксиомы Пеано для натуральныхчисел


 Множество N будем называть множеством натуральных чисел, еслизафиксированы некоторый элемент 1 (единица), принадлежащийN (1N), и функция S c областью определенияN и областью значений N (называемая функциейследования; S:NN) так, что выполненыследующие условия:

  1. единица является натуральным числом (1N);
  2. число, следующее за натуральным, также является натуральным (если xN, то S(x)N);
  3. единица не следует ни за каким натуральным числом (xN (S(x)=1));
  4. если натуральное число a непосредственно следует как за натуральным числом b, так и за натуральным числом c, то b=c (если S(b)=a и S(c)=a, то b=c);
  5. (аксиома индукции) если какое-либо предложение (высказывание) P доказано для натурального числа n=1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для другого натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел (пусть P(n) — некоторый одноместный (унарный) предикат, параметром которого является натуральное число n. Тогда, если P(1) и n(P(n)P(S(n))), то nP(n)).

 Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление онатуральном ряде и числовой линии.
 Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначноопределяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). Аименно, можно доказать (см., а также краткое доказательство), что если(N,1,S) и (˜N,˜1,˜S) — двемодели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то естьсуществует обратимое отображение (биекция)f:N˜N такая, что f(1)=˜1 иf(S(x))=˜S(f(x)) для всех xN.
 Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве N какую-либо однуконкретную модель множества натуральных чисел.

Теоретико-множественное определение натуральных чисел(определение Фреге —Рассела)


 Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любыхматематических систем является множество.
 Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятиямножества, по двум правилам:

  • 0=;
  • S(n)=n{n}.

 Числа, заданные таким образом, называются ординальными.
 Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих имнатуральных чисел:

  • 0=;
  • 1={0}={};
  • 2={0,1}={,{}};
  • 3={0,1,2}={,{},{,{}}}.

Ноль как натуральноечисло


 Иногда, особенно в иностранной и переводной литературе, в первой итретьей аксиомах Пеано заменяют единицу на ноль. В этом случае нольсчитается натуральным числом. При определении через классы равномощныхмножеств ноль является натуральным числом по определению. Специальноотбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительноусложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как вбольшинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-тообособленным. Другим преимуществом считать ноль натуральным числомявляется то, что при этом \N образует моноид.
 В русской литературе обычно ноль исключён из числа натуральных чисел(0N), а множество натуральных чисел с нулёмобозначается как N0. Если в определение натуральных чиселвключен ноль, то множество натуральных чисел записывается какN, а без нуля — как N.
 В международной математической литературе, с учётом сказанного выше и воизбежание неоднозначностей, множество {1,2,} обычно называютмножеством положительных целых чисел и обозначают \Z+. Множество{0,1,} зачастую называют множеством неотрицательных целых чисели обозначают \Z0.
 Файл:Set of real numbers(diagram).svg\textbarthumb\textbar300px\textbarПоложение множестванатуральных чисел (\N) среди множеств целых чисел (\Z), рациональныхчисел (\Q), действительных чисел (\R) и иррациональных чисел(\R\Q)мощность множества», которое является обобщением числаэлементов конечного множества на бесконечные множества. По величине (тоесть мощности) множество натуральных чисел больше любого конечногомножества, но меньше любого интервала, например, интервала (0,1).Множество натуральных чисел по мощности такое же, как множестворациональных чисел. Множество такой же мощности, как множествонатуральных чисел, называется счётным множеством. Так, множество членовлюбой последовательности счётно. В то же время, существуетпоследовательность, в которую каждое натуральное число входитбесконечное число раз, поскольку множество натуральных чисел можнопредставить как счётное объединение непересекающихся счётных множеств(например,\N=k=0(n=0(2n+1)2k)).

Операции над натуральнымичислами


 К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множестванатуральных чисел) над натуральными числами относятся следующиеарифметические операции:

  • сложение: слагаемое + слагаемое = сумма;
  • умножение: множитель × множитель = произведение;
  • возведение в степень: ab, где a — основание степени, b — показатель степени. Если a и b — натуральные числа, то и результат будет натуральным числом.

 Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зренияне являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определеныдля всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

  • вычитание: уменьшаемое — вычитаемое = разность. При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого (или равно ему, если считать нуль натуральным числом);
  • деление с остатком: делимое / делитель = (частное, остаток). Частное p и остаток r от деления a на b определяются так: a=pb+r, причём 0r<b. Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на нуль, так как иначе a можно представить в виде a=p0+a, то есть можно было бы считать частным любое число, а остатком a.

 Следует заметить, что операции сложения и умножения являютсяосновополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именночерез бинарные операции сложения и умножения.

Основныесвойства



  • Коммутативность сложения:


a+b=b+a.

  • Коммутативность умножения:


ab=ba.

  • Ассоциативность сложения:


(a+b)+c=a+(b+c).

  • Ассоциативность умножения:


(ab)c=a(bc).

  • Дистрибутивность умножения относительно сложения:


{a(b+c)=ab+ac(b+c)a=ba+ca.

Алгебраическаяструктура


 Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей,роль единицы выполняет 0. Умножение также превращает множествонатуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементомявляется 1. С помощью замыкания относительно операцийсложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чиселZ и рациональных положительных чисел Q+соответственно.

Теоретико-множественныеопределения


 Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентностиконечных множеств. Если обозначить класс эквивалентности множестваA, порождённый биекциями, с помощью квадратных скобок:[A], основные арифметические операции определятся следующимобразом:

  • [A]+[B]=[AB];
  • [A][B]=[A×B];
  • [A][B]=[AB],

 где:

  • AB — дизъюнктное объединение множеств;
  • A×B — прямое произведение;
  • AB — множество отображений из B в A.

 Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, тоесть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивнымиопределениями.