Совершенное число

Совершенное число  — натуральное число, равное сумме всехсвоих собственных делителей (то есть всех положительных делителей,отличных от самого числа). По мере того как натуральные числавозрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Неизвестно,бесконечно ли множество всех совершенных чисел.
 Совершенные числа образуют последовательность:

 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 , \ldots

Примеры



  • 1-е совершенное число — 6 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3; их сумма равна 6.
  • 2-е совершенное число — 28 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма равна 28.
  • 3-е совершенное число — 496 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма равна 496.
  • 4-е совершенное число — 8128 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; их сумма равна 8128.

Историяизучения


Чётные совершенныечисла


 Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книгеНачал Евклида, где было доказано, что число  2p1(2p1)является совершенным, если число  2p1 является простым (т. н.простые числа Мерсенна). Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что всечётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.
 Первые четыре совершенных числа (соответствующие р = 2, 3, 5 и 7)приведены в Арифметике Никомаха Геразского. Пятое совершенноечисло , соответствующее р = 13, обнаружил немецкий математикРегиомонтан (XV век). В XVI веке немецкий учёный Шейбель нашел ещё двасовершенных числа: и . Они соответствуют р = 17 и р = 19.В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р =89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XXвека, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления,превосходящие человеческие возможности.
 На январь 2016 года известно 49 простых чисел Мерсенна и соответствующихим чётных совершенных чисел, поиском новых простых чисел Мерсенназанимается проект распределённых вычислений GIMPS.

Нечётные совершенныечисла


 Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказанои то, что их не существует. Неизвестно также конечное ли число нечётныхсовершенных чисел, если они существуют.
 Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, превышает10\textsuperscript1500; при этом число простых делителей такого числас учётом кратности не меньше 101. Поиском нечётных совершенных чиселзанимается проект распределённых вычисленийOddPerfect.org.

Свойства



  • Все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел



13+33+53+


  • Все чётные совершенные числа являются треугольными числами; кроме того, они являются шестиугольными числами, то есть, могут быть представлены в виде n(2n1) для некоторого натурального числа n.
  • Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа (включая само число), равна 2. Это прямое следствие определения и того факта, что сумма делителей при делении на само число дает сумму чисел, обратных делителям.
  • Все совершенные числа являются числами Оре.
  • Все чётные совершенные числа, кроме 6 и 496, заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56 или 76.
  • Все чётные совершенные числа в двоичной записи содержат сначала p единиц, за которыми следует p1 нулей (следствие из их общего представления).
  • Если сложить все цифры чётного совершенного числа (кроме 6), затем сложить все цифры полученного числа и так повторять, пока не получится однозначное число, то это число будет равно 1 Эквивалентная формулировка: остаток от деления чётного совершенного числа, отличного от 6, на 9 равен 1.

Интересныефакты


 Особенный («совершенный») характер чисел 6 и 28 был признан в культурах,имеющих основание в авраамических религиях, утверждающих, что Богсотворил мир за 6 дней и обративших внимание на то, что Луна совершаетоборот вокруг Земли примерно за 28 дней.
 Джеймс А. Эшельман в книге «Еврейские иерархические имена Брии» пишет,что в соответствии с гематрией: Не менее важна идея, выраженная числом496. Это «теософское расширение» числа 31 (то есть сумма всех целыхчисел от 1 до 31). Помимо всего прочего, это сумма слова малхут(царство). Таким образом, Царство, полное проявление первичной идеиБога, предстает в гематрии как естественное дополнение или проявлениечисла 31, которое является числом имени 78.
 «Левиафан» (букв. «извивающийся») — один из четырёх Князей Тьмы,воплощённый в форме змея. Поэтому удерживать Левиафана — значитконтролировать энергии Нефеш, ассоциируемые со сфирой йесод. Во-вторых,«змей изгибающийся» может означать и «свернувшийся кольцами змей», тоесть Кундалини. В-третьих, гематрия слова «Левиафан» — 496, так же каки слова «Малхут» (Царство); представление о том, что архангел Йесодсдерживает природу Малхут, даёт богатую пищу для размышлений.В-четвёртых, число 496 — это сумма чисел от 1 до 31, то есть полноерасширение, или проявление, имени «Эль», божественного имени трёх высшихсфирот в Брии (в том числе и сфиры Кетер, ангелом которой являетсяЙехоэль).
 В сочинении «Град Божий» святой Августин писал: Число 6 совершенно самопо себе, а не потому, что Господь сотворил всё сущее за 6 дней; скореенаоборот, Бог сотворил всё сущее за 6 дней потому, что это числосовершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не былосотворения за 6 дней.