Число Кэрола

Число Кэрола — это целое вида 4n2n+11.
 Эквивалентная форма — (2n1)22.
 Несколько первых чисел Кэрола:

 , , , , , 3967, , , , .
 Числа Кэрола впервые изучены Клетусом Эммануэлем (Cletus Emmanuel),назвавшим числа именем своего друга — Кэрола Г. Кирнона (Carol G.Kirnon).
 Для n \textgreater 2 двоичное представление n-го числаКэрола состоит из n − 2 последовательных единиц, единственногонуля и еще n + 1 последовательных единиц, или, в алгебраическойформе,

in+22n2i1.
 Таким образом, например, 47 выглядит как 101111 в двоичном виде, а 223как 11011111. Разница между 2n-ым простым числом Мерсенна иn-ым числом Кэрола равна 2n+1. Это даёт ещё одноЭквивалентное выражение для чисел Кэрола, (22n1)2n+1.Разница между n-ым числом Кайни и n-ым числом Кэрола равна(n + 2)-ой степени двух.
 Начиная с 7 каждое третье число Кэрола делится на 7.
 Таким образом, чтобы число Кэрола было простым числом, его индексn не может иметь вид 3x + 2 для x \textgreater 0.
 Первые несколько чисел Кэрола, являющихся также простыми числами:

 7, 47, 223, 3967, .
 К июлю 2007 года наибольшее известное число Кэрола, являющееся простым,— число для n = , имеющее знаков. Оно найдено КлетусомЭммануэлем (Cletus Emmanuel) в мае 2007 года, используя программыMultiSieve и PrimeFormGW. Это 40-е простое Кэрола.
 7-е число Кэрола и 5-е простое число Кэрола (16 127) является такжепростым, если переставить цифры в обратном порядке. 12-е число Кэрола и7-е простое Кэрола (16 769 023) имеет то же свойство.