Праймориальное простое

 В теории чисел праймориальным простым числом называется простоечисло вида p\textsubscriptn\# ± 1, гдеp\textsubscriptn\# - праймориал p\textsubscriptn (тоесть произведение первых n простых чисел). Числа видаp\textsubscriptn\# + 1 (не обязательно простые) называютсячислами Евклида.
 Отсюда следует

p\textsubscriptn\# − 1 является простым для n = 2, 3, 5,6, 13, 24, ...
p\textsubscriptn\# + 1 является простым для n = 1, 2, 3,4, 5, 11, ...
 Несколько первых праймориальных простых

 3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, , ,
 Несколько первых чисел Евклида

 3, 7, 31, 211, 2311, , .
 К марту 2012 года максимальным известным праймориальным простым числомбыло 1098133\# − 1 (n = 85586) с 476,311 знаками. Число былонайдено в проекте распределенных вычислений PrimeGrid.
 Широко распространено мнение, что идея праймориальных простыхпринадлежит Евклиду и появилась в его доказательстве бесконечности числапростых чисел: Предположим, что существует только n простыхчисел, тогда число p\textsubscriptn\# + 1 взаимно просто сними, а значит либо оно является простым, либо существует ещё однопростое число. Открытой проблемой остаётся, конечно или бесконечноколичество праймориальных простых чисел (и, в частности, простых чиселЕвклида).
 Число Евклида E\textsubscript6 = 13\# + 1 = 30031 = 59 x509 составное, что демонстрирует, что не все числа Евклида – простые.
 Числа Евклида не могут быть квадратными, поскольку они всегда сравнимы с3 mod 4.
 Для всех n ≥ 3 последний знак E\textsubscriptnравен 1, поскольку E\textsubscriptn − 1 делится на 2 и5.