Processing math: 100%

Простые числа Эйзенштейна

 В математике простым числом Эйзенштейна называется целое числоЭйзенштейна
z=a+bω(ω=e2πi/3)
,
 являющееся неприводимым (эквивалентно, простым) элементомZ[ω] в смысле теории колец. Делителями простых чиселЭйзенштейна являются только обратимые элементы (±1, ±ω,±ω\textsuperscript2), a + bω и их произведения.
 Умножение на обратимый элемент и сопряжение любого простого числаЭйзенштейна также является простым числом Эйзенштейна.
 Целое число Эйзенштейна z = a + bω является простымчислом Эйзенштейна тогда и только тогда, когда выполняется одно изследующих взаимоисключающих условий:

  1. z является произведением обратимого элемента на натуральное простое вида 3n − 1,
  2. \textbarz\textbar\textsuperscript2 = a\textsuperscript2 − ab + b\textsuperscript2 является натуральным простым (сравнимым с 0 или 1  по модулю  3).

 Отсюда следует, что абсолютное значение квадрата любого целого числаЭйзенштейна является либо простым числом, либо квадратом простого числа.
 Несколько первых простых чисел Эйзенштейна, равных натуральным простым3n − 1:

 2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101 .
 Все натуральные простые, сравнимые с 0 или 1 по модулю  3, неявляются простыми Эйзенштейна: они разложимы на нетривиальные множителив Z[ω]. Примеры:

 3 = −(1 + 2ω)\textsuperscript2
 7 = (3 + ω)(2 − ω).
 Несколько простых чисел Эйзенштейна, не являющихся натуральными:

 2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + ω, 7 + 3ω.
 С точностью до сопряжения и умножения на единицы, приведенные вышечисла, вместе с 2 и 5, - это все простые числа Эйзенштейна, непревосходящие по абсолютному значению 7.
 По состоянию на май 2017 года наибольшим известным действительнымпростым числом Эйзенштейна является10223 × 2\textsuperscript31172165 + 1, открытое проектом PrimeGrid.
 Все большие известные простые являются простыми числами Мерсенна и былинайдены с помощью GIMPS. Действительные простые Эйзенштейна сравнимы с 2по модулю 3, а простые числа Мерсенна (за исключением наименьшего и них,3) сравнимы с 1 по модулю 3. Таким образом, никакое простое числоМерсенна не является простым числом Эйзенштейна.