Processing math: 100%

Простое число Вифериха

 В теории чисел простым числом Вифериха называется простое числоp, такое, что p2 делит 2p11 , что является усилениемутверждения малой теоремы Ферма, утверждающей, что любое нечетноепростое p делит 2p11. Эти простые числа впервые описаны АртуромВиферихом (Arthur Wieferich) в 1909-м году в работе, относящейся квеликой теореме Ферма. К тому времени обе теоремы Ферма были хорошоизвестны математикам.
 С тех пор были обнаружены связи между простыми числами Вифериха иразличными другими объектами математики, в том числе и другими типамипростых чисел (числа Мерсенна и Ферма), особыми типами псевдопростыхчисел и некоторыми обобщениями самих простых чисел Вифериха. Со временемоткрытые связи были распространены на некоторые другие свойства простыхчисел, а также на общие объекты, такие как числовое поле и abc-гипотеза.
 Несмотря на многочисленные попытки широкого поиска, известны только двапростых числа Вифериха – это и .

Объяснение свойств простых чиселВифериха


 Усиленный вариант малой теоремой Ферма, которой удовлетворяют простыечисла Вифериха, обычно выражается в виде сравнения по модулю2p11(modp2). Из определения сравнения следует, что этосвойство эквивалентно определению, данному в начале статьи. Такимобразом, если простое p удовлетворяет сравнению, это простоеделит частное Ферма 2p11p.
 Приведём два примера:
 Для p = 11 мы получаем 210111, что дает число 93,имеющее остаток от деления на 11, равный 5. Таким образом, 11 неявляется простым числом Вифериха.
 Для p = 1093, мы получаем 2109211093 или485439490310...852893958515 (302 цифры в середине опущены) и это числодает остаток 0 при делении на 1093, так что 1093 является простым числомВифериха.

История и состояниепоиска


 В 1902-м году Майер (W. F. Meyer) доказал теорему о решении сравненияap11(modpr) . Позже, в то же десятилетие, Артур Виферихпоказал, что если первый случай великой теоремы Ферма имеет решение длянечётной простой степени, то это простое должно удовлетворять сравнениюдля a=2 и r=2. Другими словами, если существует решениеxp+yp+zp=0 в целых x,y,z и p – нечетное простое, не делящееxyz (pxyz), то p удовлетворяет 2p11(modp2).В 1913-м году Бахман (Paul Gustav Heinrich Bachmann) исследовал остаток2p11pmodp. Он поставил вопрос — когда этотостаток превращается в ноль, и попытался найти формулы для ответа напоставленный вопрос.
 В 1913-м году Вальдемар Майснер (Waldemar Meissner) обнаружил, чтопростое число 1093 является простым Вифериха. Он же показал, что этоединственное простое меньшее 2000. Он вычислил наименьший остаток2t1pmodp для всех простых p<2000 и обнаружил,что этот остаток равен нулю для t=364 и p=1093, тем самым нашелконтрпример гипотезе Граве (Grawe) о невозможности сравнения Вифериха.
 Позднее Хентцшель (E. Haentzschel) потребовал перепроверки правильностивычислений Майснера с использованием только элементарных операций.Вдохновлённый ранней работой Эйлера, он упростил доказательствоМайснера, показав, что 109322182+1, и заметил, что2182+1 является делителем 23641. Было также показано, чтоможно проверить, является ли 1093 простым числом Майснера, не используякомплексных чисел в противоположность методу, использованному Майснером,хотя сам Майснер давал понять, что он знает о возможности такогодоказательства.
 В 1922-м году Н. Г. В. Х. Бегер (N. G. W. H. Beeger) обнаружил, чтопростое число 3511 является простым числом Вифериха. Другоедоказательство принадлежности 3511 к простым числам Вифериха былоопубликовано в 1965-м Гаем (Richard K. Guy). В 1960-м году Кравиц(Kravitz) удвоил рекорд проверенных чисел, которое до этого установилФрёберг (Fröberg) В 1961-м году Ризель (Riesel) расширил поиск до 500000с помощью BESK. Около 1980-го Лемер (Lehmer) смог достичь предела 6.Этот предел поиска был сдвинут к 2.5 в 2006-м, а затем и 3. Сейчасизвестно, что если существуют какие-либо другие простые числа Вифериха,они должны быть не меньше 6.7. Поиск новых простых чисел Вифериха внастоящее время осуществляется в проекте распределённых вычисленийWieferich@Home. В декабре 2011-го года стартовал еще один проект –PrimeGrid. К октябрю 2014-го года достиг предела поиска 3, и поискпродолжается.
 Крис Колдуэлл (Chris Caldwell) предположил, что существует конечноечисло простых чисел Вифериха. Было высказана также противоположнаягипотеза, что (как и для простых Вильсона) существует бесконечно многопростых чисел Вифериха, и что число простых Вифериха, меньших x,оценивается значением lnlnx, что является эвристическимрезультатом, следующим из правдоподобного предположения, что дляпростого p (p1)-тая степень корня из единицы по модулю p2равномерно распределена на мультипликативной группе целых чисел помодулю p2великую теорему Ферма:
 Пусть p – простое, и пусть x,y,z – целые числа, такие, чтоxp+yp+zp=0. Предположим далее, что p не делит произведение xyz.Тогда p – простое число Вифериха.
 Условие «где p не делит любое из x,y или z» известно как первыйслучай великой теоремы Ферма (FLTI). FLTI неверна для простого p, еслирешение уравнения Ферма существует для p, в противном случае FLTI дляp выполняется. В 1910-м году Мириманов расширил теорему, показав, что,если условия теоремы выполняются для некоторого простого p, то p2должно также делить 3p11. Позднее Гранвиль (Granville) и Монаган(Monagan) доказали, что p2 должно делить mp11 для любогопростого m89. Судзуки (Suzuki) распространил доказательствона все простые m113.
 Пусть Hp – множество пар целых и их наибольший общий делитель равен1.
 Пусть ξ=cos2π/p+isin2π/p, K=Q(ξ) являетсярасширением поля, получаемого включением всех многочленов оталгебраического числа ξ в поле рациональных числ (такое расширениеизвестно как числовое поле или, в данном случае, где ξ — корнииз единицы, круговым числовым полем).
 Пусть Hp – множество пар (x,y), удовлетворяющих свойствам:

  • i НОД(x,y)=1
  • ii p — взаимно просто с x,y и x+y
  • iii (x+y)p11(modp2)
  • iv x+ξyp-ая степень идеала K.

 Из единственности факторизации идеалов в Q(ξ) следует, чтоесли x,y,z являются решением (первого случая) великой теоремы Ферма,то p делит x+y+z, а (x,y),(y,z) и (z,x) являются элементамиHp. Гранвиль (Granville) и Монаган (Monagan) показали, что(1,1)Hp тогда и только тогда, когда p является простым числомВифериха.

Связь с abc

-гипотезой и простыми числамине-Вифериха
 Простое число не-Вифериха – это простое p, удовлетворяющее условию2p11(modp2). Д.Х. Силвермен (Joseph H. Silverman) в1988-м году показал, что если abc-гипотеза верна, то существуетбесконечно много простых не-Вифериха.
 Говоря точнее, он показал, что из верности abc-гипотезы следует, чтоколичество простых не-Вифериха для $p Множество простых чисел Вифериха и множество простых не-Вифериха, иногдаобозначаемые как W1 и Wc2 соответственно, являютсядополнительными множествами, так что конечность одного из них влечетбесконечность другого (поскольку вместе они дают множество простыхчисел). Было показано, что существование бесконечного количества чиселне-Вифериха следует из ослабленной версии abc-гипотезы, называемойABC-(k, ε) гипотезой.
 Вдобавок существование бесконечного количества чисел не-Виферихавытекает также из существования бесконечного количества свободных отквадратов чисел Мерсенна.
 Это же вытекает из существования вещественного ξ, такого, чтомножество {nN:λ(2n1)<2ξ} имеет плотность 1.Здесь индекс сложности λ(n) для целого n определяетсякак lognlogγ(n) иγ(n)=pnp, где γ(n) — произведениевсех простых множителй n.

Связь с простыми числами Мерсенна иФерма


 Известно, что n-ое число Мерсенна Mn=2n1 является простым, толькоесли n – простое. Из малой теоремы Ферма следует, что, если p>2является простым, Mp1(=2p11) делится на p. Поскольку числаМерсенна с простыми индексами Mp и Mq взаимно просты, простойделитель p числа Mq, где q – простое, является простым числомВифериха тогда и только тогда, когда p2 делит Mq.
 Таким образом, простое число Мерсенна не может быть также простымВифериха.
 Интересная проблема остается нерешенной: все ли числа Мерсенна с простыминдексом свободны от квадратов. Если число Мерсенна Mq несвободно от квадратов, то существует простое p, для которого p2делит Mq, что означает, что p – простое число Вифериха. Такимобразом, если простых чисел Вифериха конечное число, то должно быть поменьшей мере конечное число не свободных от квадратов чисел Мерсенна.Роткевич (Rotkiewicz) показал, что обратное тоже верно, то есть, еслиимеется бесконечно много свободных от квадратов чисел Мерсенна, то ипростых чисел не-Вифериха тоже бесконечно много.
 Подобным образом, если p – простое, и p2 делит число ФермаFn=22n+1, то p должно быть простым числом Вифериха.
 Для простых было показано, что ни одно из них не является делителемкакого-либо числа Мерсенна или Ферма.

Связь с другимиравенствами


 Скотт (Scott) и Стайер (Styer) показали, что равенство px2y=d имеетмаксимум одно решение в положительных целых (x,y), еслиp42ordp(2)1 при p65(mod192)или p22ordp(2)1, гдеordp(2) означает мультипликативный порядок числа 2 помодулю p.
 Они также показали, что решения уравнения±ax1±2y1=±ax2±2y2=c должны принадлежатьопределенному множеству, но утверждение перестает быть верным, если a– простое число Вифериха, большее 1,25×1015.

Бинарная периодичностьp

−1
 Джонсон (Johnson) заметил, что два известных простых числа Вифериха наединицу больше чисел с периодическим двоичным представлением(1092=0100010001002; 3510=1101101101102). ПроектWieferich@Home ищет простые числа Вифериха путём проверки чисел, наединицу больших чисел с периодическим двоичным представлением, но средичисел длиной до 3500 бит и периодом до 24 бит не было найдено ни одногонового простого числа Вифериха.

Эквивалентныесравнения


 Простые числа Вифериха могут быть определены другим сравнением,эквивалентным тому, которое обычно используют.
 Если p простое число Вифериха, можно умножить обе части сравнения2p11(modp2) на 2 и получим 2p2(modp2).Возведя обе части сравнения в степень p, получим2p22p2(modp2), откуда2pk2(modp2) для всех k1.
 Обратное тоже верно: Из 2pk2(modp2) для всехk1 следует, что мультипликативный порядок числа 2 по модулюp2 делит НОД(pk1,φ(p2))=p1, где φ -функцияЭйлера, так что, 2p11(modp2) и число p являетсяпростым Вифериха.
 Бояи показал, что если p и q просты, a – положительное целое, неделящееся на p и q, такое, чтоap11(modq), aq11(modp), тоapq11(modpq). Полагая p=q, получимap211(modp2). А ap211(modp2) в силутеоремы Эйлера равносильно ap11(modp2).

Связь с псевдопростымичислами


 Было замечено, что оба известных простых числа Вифериха делят всенесвободные от квадратов по базе 2 псевдопростые числа до25109. Более поздние вычисления показали, что повторяющимисямножителями псевдопростых чисел до 1012 являются только 1093 и3511.
 Существует следующая связь: Пусть n — псевдопростое по базису 2 иp — простой делитель n. Если2n11n0(modp), то2p11p0(modp).
 Далее, если p — простое число Вифериха, то p2 псевдопростоеКаталана (Catalan).

Связь с ориентированнымиграфами


 Для всех простых до 100000 L(pn+1)=L(pn) только в двух случаях:L(10932)=L(1093)=364 и L(35112)=L(3511)=1755, где m – модульдиаграммы удваивания и L(m) дает число вершин в цикле, образованномединицей. Термин диаграмма удваивания относится кориентированному графу с 0 и натуральными числами, меньшими m вкачестве вершин и дугами, идущими из вершины x в вершину 2x помодулю m. Было установлено, что для всех нечетных простых чисел либоL(pn+1)=p×L(pn), либо L(pn+1)=L(pn).

Свойства, связанные с числовымиполями


 Было установлено, что χD0(p)=1 иλp(Q(D0))=1 тогдаи только тогда, когда 2p11(modp2), где p –нечетное простое и D0<0 — фундаментальный дискриминанткомплексного квадратичного поля Q(1p2).
 Также было показано следующее:
 Пусть p – простое число Вифериха. Если p3(mod4), пустьD0<0 — фундаментальный дискриминант комплексного квадратичногополя Q(1p)
 Если p1(mod4), пусть D0<0 — фундаментальныйдискриминант комплексного квадратичного поляQ(4p).
 Тогда χD0(p)=1 иλp(Q(D0))=1(χ и λ в этом контексте означают инвариант Ивасава(Iwasawa)).
 Также было установлено:
 Пусть q – нечетное простое число, k и p – простые, такие, чтоp=2k+1,k3(mod4),p1(modq),p1(modq3)и порядок q по модулю k равен k12.
 Предположим, что q делит h+ — число классов вещественногокругового поля Q(ζp+ζ1p),полученного добавлением к полю рациональных чисел суммы p-ого корня изединицы и обратного к нему элемента.
 Тогда q – простое число Вифериха.
 Это остается верным, если условияp1(modq),p1(modq3) заменить наp3(modq),p3(modq3)
 Утверждение остается верным и при замене условия p1(modq) наp5(modq), (в этом случае q будет простым числомФибоначи-Вифериха), а неравенство заменится наp5(modq3).

Периоды простых чиселВифериха


 Пусть период p числа x по базису b – период дроби 1xпо базису b. Например, период числа 3 по базису 10 равен 1, что обычнозаписывается как 0,(3), в то время как период числа 3 по базису 2 равен2 и число можно записать как 0,(01). В общем случае, период p числаx является показателем b по модулю x. Простое число Вифериха побазису b – это простое x, удовлетворяющее сравнениюbx11(modx2). Если x2 делит bp11, период x2имеет тот же период, что и x, и такие простые известны какпростые с квадратным периодом. Гарца (Garza) и Янг (Young)утверждают, что период числа 1093 равен 1092 и он равен периоду числа1093\textsuperscript2,.

Порядок числа 2 по модулю степеней простых чиселВифериха


 Только простые 1093 и 3511 среди чисел до 41012 удовлетворяютordp2(2)=ordp(2) и известно, чтоord1093(2)=364 иord3511(2)=1755.
 Х. С. Вандивер (H. S. Vandiver) показал, что 2p11(modp3)тогда и только тогда, когда1+13++1p20(modp2).

Обобщения


Почти простые числаВифериха


 Простое p, удовлетворяющее сравнению2p12±1+Ap(modp2) с малым |A|, обычноназываются ''почти простым числа Вифериха '' . Почти простые числаВифериха с A=0 представляют собой простые числа Вифериха.
 Проекты распределенных вычислений с недавнего времени в дополнение косновному поиску простых чисел Вифериха пытались обнаружить и почтипростые числа Вифериха.
 Следующая таблица представляет все почти простые числа Вифериха с|A|10 в интервале [109,31015]. Этот интервал былдостигнут поиском, организованным Карлайлом (P. Carlisle), Крэндаллом(R. Crandall) и Роденкирхом (M. Rodenkirch).
pω(p)|ω(p)p|×1014
109300
351100
2276306935816523+60.264
3167939147662997−170.537
3723113065138349−360.967
5131427559624857−360.702
5294488110626977−310.586
6517506365514181+580.890

Простые числа Вифериха по базеa


Простым числом Вифериха по базе a называется простое p,удовлетворяющее сравнению

ap11(modp2).
 Такие простые не могут делить a, поскольку тогда они должныделить и 1.

ПарыВифериха


 Парой Вифериха называется пара простых p,q, удовлетворяющих

pq11(modq2), qp11(modp2)
 Таким образом, простое число Вифериха p1(mod4) образует пару(p,2). Единственное известное число для этого случая – это p=1093.Известно 6 пар Вифериха.

ЧислаВифериха


Числом Вифериха называется нечетное целое w3,удовлетворяющее сравнению 2φ(w)1(modw2), гдеφ означает функцию Эйлера. Если число Вифериха w являетсяпростым, то оно также является простым числом Вифериха.
 Несколько первых чисел Вифериха:

 , \ldots
 Можно показать, что если имеется только конечное число простых чиселВифериха, то и количество чисел Вифериха конечно. В частности, еслипростые числа Вифериха только 1093 и 3511, то существует точно 104 чиселВифериха, и они соответствуют тем числам, которые известны на данныймомент.
 Обобщая, целое w является числом Вифериха по базе a, еслиaφ(w)1(modw2).
 По другому определению числом Вифериха называется положительноенечетное q, такое, что q и 2m1q не взаимнопросты, где m – показатель 2 по модулю q. Первыенесколько этих чисел:

 , \ldots
 Как и выше, если число Вифериха q является простым, то оноявляется простым числом Вифериха.

Простые числаЛюка-Вифериха


Простым числом Люка-Вифериха, соответствующим паре целых(P,Q) называется простое p, такое, чтоUpε(P,Q)0(modp2), где Un(P,Q) означаетпоследовательность Люка первого вида и ε – это значениесимвола Лежандра P24Q по модулю p. Все простые числа Виферихаявляются простыми числами Люка-Вифериха, соответствующими паре (3,2).

ТочкиВифериха


 Пусть K – глобальное поле, т.е. числовое поле или поле функций однойпеременной над конечным полем и пусть E – эллиптическая кривая. Еслиv – это неархимедова точка нормы qv K и aK, где v(a)=0,то v(aqv1)1. v называется точкой Вифериха побазе a, если v(aqv1)>1, эллиптической точкой Виферихапо базе PE, если Nv(P)E2, и сильной эллиптическойточкой Вифериха по базе PE, если nv(P)E2, где nv –порядок P по модулю v и Nv дает количество рациональных точек(над полем вычетов v) редукции E на v.

Замечания



  • Простое число Вольстенхольма – ещё один тип простых чисел, возникший при изучении великой теоремы Ферма
  • Таблица сравнений – список других сравнений, которым удовлетворяют простые числа