Гипотеза Крамера

Гипотеза Крамера — теоретико-числовая гипотеза,сформулированная шведским математиком Крамером в 1936 году,утверждающая, чтоpn+1pn=O(ln2pn),где pn обозначает n-е простое число, а O — это Oбольшое. Грубо говоря, это означает, что пробелы между последовательнымипростыми всегда маленькие. Также гипотезой Крамера называют чуть болеесильное утверждение:
limsupnpn+1pnln2pn=1.
Гиротеза Крамера пока не доказана и не опровергнута.

Эвристическоеобоснование

Гипотеза Крамера основывается на вероятностной модели (существенноэвристической) распределения простых, в которой предполагается, чтовероятность того, что натуральное число x является простым, равнапримерно 1lnx. Эта модель известна как МодельКрамера' простых. Крамер доказал в своей модели, что упомянутаягипотеза истинна с вероятностью 1.

Доказанные результаты о пробелах между простымичислами

Крамер также дал условное доказательство более слабого утверждения отом, что
pn+1pn=O(pnlnpn)
предполагая истинной гипотезу Римана.С другой стороны, E. Westzynthius доказал в 1931 году, что величинапробелов между простыми более чем логарифмическая. То есть,
limsupn+pn+1pnlnpn=.

ГипотезаКрамера-Грэнвилля

Даниэль Шенкс предложил гипотезу об асимптотическом равенстве длянаибольших пробелов между простыми, несколько более строгую, чемгипотеза Крамера.В вероятностной модели,
limsupnpn+1pnln2pn=c,
сc=1.Но константа c возможно не такая, как для простых, по теореме Майера.Эндрю Грэнвилль в 1995 году утверждал, что константаc=2eγ1.1229., где γ — постояннаяЭйлера.В работе М. Вольф предложил формулу для максимального расстояния G(x)между последовательными простыми числами меньшими x. Формула Вольфавыражает G(x) через функцию распределения простых чисел π(x):
G(x)xπ(x)(2ln(π(x))ln(x)+c0),
где c0=ln(C2)=0.2778769..., а C2=1.3203236... есть константапростых-близнецов.Thomas Nicely вычислил много наибольших пробелов между простыми. Онпроверил качество гипотезы Крамера, измерив отношение R логарифмапростых к квадратному корню из размера пробела между простыми:
R=lnpnpn+1pn.
Oн писал: «Для известныхмаксимальных пробелов между простыми, R остается равным примерно1,13,» что показывает, как минимум в диапазоне его вычислений, чтогрэнвиллево улучшение гипотезы Крамера не представляется лучшимприближением для имеющихся данных.