Проблема Гольдбаха

Проблема Гольдбаха (гипотеза Гольдбаха, проблемаЭйлера, бинарная проблема Гольдбаха)  — утверждение о том, чтолюбое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двухпростых чисел.
 Проблема Гольдбаха является известной открытой математической проблемой;в совокупности с гипотезой Римана включена под номером 8 в списокпроблем Гильберта (1900) и является одной из немногих проблем Гильберта,до сих пор остающихся нерешёнными по состоянию на 2010-е годы.
 Более слабый вариант гипотезы — тернарная проблема Гольдбаха,согласно которой любое нечётное число, начиная с 7, можно представить ввиде суммы трёх простых чисел, была доказана в 2013 году перуанскимматематиком Харальдом Гельфготтом. Из справедливости утверждениябинарной проблемы Гольдбаха очевидным образом следует справедливостьтернарной проблемы Гольдбаха: если каждое чётное число, начиная с 4,есть сумма двух простых чисел, то добавляя 3 к каждому чётному числу,можно получить все нечётные числа, начиная с 7.

История


 В 1742 году математик Кристиан Гольдбах послал письмо Леонарду Эйлеру, вкотором он высказал следующее предположение: Эйлер заинтересовалсяпроблемой и выдвинул более сильную гипотезу: Первое утверждениеназывается тернарной проблемой Гольдбаха, второе —бинарной проблемой Гольдбаха (или проблемой Эйлера).

Связанныерезультаты


 Результаты, связанные с проблемой Гольдбаха, были получены ЛьвомШнирельманом.

Тернарная проблемаГольдбаха


 В 1923 году математики Харди и Литлвуд показали, что в случаесправедливости некоторого обобщения гипотезы Римана проблема Гольдбахаверна для всех достаточно больших нечётных чисел.
 В 1937 году Виноградов представил доказательство, не зависящее отсправедливости гипотезы Римана, то есть доказал, что любое достаточнобольшое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёхпростых. Сам Виноградов не дал явной оценки для этого «достаточнобольшого числа», но его студент Константин Бороздин доказал, что нижняяграница не превышает 3\textsuperscript3\textsuperscript15 ≈3,25×10\textsuperscript6 846 168 ≈ 10\textsuperscript6 846 168. Тоесть это число содержит почти 7 миллионов цифр, что делает невозможнойпрямую проверку всех меньших чисел.
 В дальнейшем результат Виноградова многократно улучшали, пока в 1989году Ван и Чэнь не опустили нижнюю грань доe\textsuperscripte\textsuperscript11,503 ≈3,33339×10\textsuperscript43 000 ≈ 10\textsuperscript43 000,5, что,тем не менее, по-прежнему было вне пределов досягаемости для явнойпроверки всех меньших чисел.
 В 1997 году Дезуйе, Эффингер, те Риле и Зиновьев показали, чтообобщённая гипотеза Римана влечёт справедливость тернарной проблемыГольдбаха. Они доказали её справедливость для чисел, превышающих10\textsuperscript20, в то время как справедливость утверждения дляменьших чисел легко устанавливается на компьютере.
 В 2013 году тернарная гипотеза Гольдбаха была окончательно доказанаХаральдомГельфготтом\textgreaterGoldbachVariations // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013.

Бинарная проблемаГольдбаха


 Бинарная проблема Гольдбаха всё ещё далека от решения.
 Виноградов в 1937 году и Теодор Эстерманн в 1938 году показали, чтопочти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел. Этотрезультат немного усилен в 1975 году и , они показали, что существуютположительные константы c и C такие, что количество чётныхчисел, не больших N, непредставимых в виде суммы двух простыхчисел, не превышает CN1c.
 В 1930 году Шнирельман доказал, что любое целое число представимо в видесуммы не более чем простых чисел. Этот результат многократно улучшался,так, в 1995 году Оливье Рамаре доказал, что любое чётное число — суммане более чем 6 простых чисел. Из справедливости тернарной гипотезыГольдбаха (доказанной в 2013 году) следует, что любое чётное число —сумма не более чем 4 простых чисел.
 В 1966 году Чэнь Цзинжунь доказал, что любое достаточно большое чётноечисло представимо или в виде суммы двух простых чисел, или же в видесуммы простого числа и полупростого (произведения двух простых чисел).Например, 100 = 23 + 7 · 11.
 На апрель 2012 года бинарная гипотеза Гольдбаха была проверена для всехчётных чисел, не превышающих 4×10\textsuperscript18.
 Если бинарная гипотеза Гольдбаха неверна, то существует алгоритм,который рано или поздно обнаружит её нарушение.
 Бинарная гипотеза Гольдбаха может быть переформулирована как утверждениео неразрешимости диофантова уравнения 4-й степени некоторогоспециального вида.