Гипотеза Аго Джуги

Гипотеза Аго — Джуги — теоретико-числовая гипотеза о числахБернулли Bk, согласно которой p является простым числом тогда итолько тогда, когда pBp11(modp).

Эквивалентныеформулировки


 Исторически первая формулировка гипотезы принадлежит итальянскомуматематику Джузеппе Джуге (1950), согласно которой p является простым,если:

i=1p1ip1=1p1+2p1++(p1)p11(modp).
 В этой формулировке простота числа p достаточна для выполнениясвойства, поскольку для простого p малая теорема Ферма утверждает, чтоap11(modp) для a=1,2,,p1, откуда следуетэквивалентность, поскольку p11(modp).
 Современная формулировка со связью с числами Бернулли принадлежитяпонскому математику Такаси Аго (Takashi Agoh, 1990).

Текущеесостояние


 Утверждение остаётся гипотезой, поскольку не доказано, что если nявляется составным, то формула не выполняется. Было показано, чтосоставное число n удовлетворяет формуле тогда и только тогда, когдаоно является и числом Кармайкла и числом Джуги одновременно, и еслитакое число существует, оно содержит как минимум 13 800 знаков.

Взаимосвязь с теоремойВильсона


 Гипотеза Аго — Джуги внешне сходна с утверждением теоремы Вильсона,согласно которой p просто в том и только в том случае, когда(p1)!1(modp), что может быть записано как:

i=1p1ip11(modp)
 (утверждение гипотезы Аго — Джуги формулируется как:

i=1p1ip11(modp).