Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Гипотеза Диксона

Гипотеза Диксона — теоретико-числовое предположение,высказанное Линордом Диксоном в 1904 году, утверждающее, что для любогоконечного набора линейных форм a1n+b1,a2n+b2,...akn+bk приaj1, имеется бесконечно много натуральных чисел n,для которых все значения форм будут простыми одновременно, если тольконе существует сравнение по некоторому простому модулю, сразу исключающееэту возможность.

Формулировка


 Пусть k — натуральное число, рассмотрим k арифметическихпрогрессий a1n+b1,a2n+b2,...akn+bk с целыми aj,bj, причемaj1. Гипотеза Диксона предполагает, что существуетбесконечно много натуральных n таких, что для каждого такогоn все k чисел a1n+b1,a2n+b2,...akn+bk являютсяпростыми числами. Из рассмотрения исключается только тривиальный случай,когда существует такое простое p, что при любом n хотя быодно число ajn+bj кратно p. Это ограничение можнопереформулировать так: неверно что для любого n выполняетсясравнение (a1n+b1)(a2n+b2)...(akn+bk)0(modp). Впоследнем случае на p может делиться как несколько прогрессий приразных n, так и одна прогрессия при всех n. Например, для2-х прогрессий n,2n всегда 22n, а для 2-х других прогрессийn,n+3 при четных n 2n, а при нечетных — 2n+3,так что в парах прогрессий n,2n и n,n+3 число простых пар небесконечно.
 Заметим также, что формулировка гипотезы получается более естественной,если расширить её область действия с натуральных до всех целых чисел, вчастности, считать простыми не только положительные числа 2,3,5,...,но и отрицательные числа 2,3,5,... (каковые действительно являютсяпростыми элементами в кольце Z в обычном смысле). В такомслучае нет необходимости требовать положительность всех значений всехпрогрессий ajn+bj и значит условие aj1 можно ослабитьдо aj0, а последнее вообще можно убрать, поскольку иначеajn+bj — не арифметическая прогрессия.

Частныеслучаи



  • Случай k=1 уже доказан — это теорема Дирихле.
  • Два специальных случая — это хорошо известные гипотезы: имеется бесконечно много простых чисел-близнецов (n и n + 2 простые), и имеется бесконечно много чисел Софи Жермен (n и 2n + 1 простые).
  • Гипотеза Полиньяка — существует бесконечно много простых пар вида n,n+2t, t — фиксированное натуральное число (то есть бесконечно число простых пар (n,n+2), (n,n+4), (n,n+6) и т. п.)
  • Гипотеза о последовательных простых: если нет простого p такого, что для всех n p(n+b1)(n+b2)...(n+bk), то число последовательных простых бесконечно (это опять же пары (n,n+2), тройки (n,n+2,n+6), четверки (n,n+2,n+6,n+8) и т. д.)
  • В качестве других следствий можно привести то, что из гипотезы Диксона следует бесконечность числа составных чисел Мерсенна и бесконечность чисел Кармайкла, содержащих ровно 3 простых множителя, и т. п.

Эвристические соображения в пользугипотезы


 Пусть w(p) — число решений сравнения(a1n+b1)(a2n+b2)...(akn+bk)0(modp). Согласнопредположению гипотезы, $w(p)n, не превосходящих x, для которых все числаajn+b+j простые, оценивается величиной

p1w(p)/p(1p1)kx2dtlnkt,
 здесь произведение берется по всем простым числам p, а ln —натуральный логарифм числа. Величина асимптотически эквивалентнаp1w(p)/p(1p1)kxlnkx,
 но 1-е выражение должно быть точнее. При k=1, нетрудно проверить,коэффициент будет равен 1φ(a1), что соответствуеттеореме Дирихле (здесь φ — функция Эйлера).

Обобщения


 Гипотеза Диксона была позже обобщена Шинцелем до гипотезы Шинцеля.