Числа Ризеля

 В математике число Ризеля — нечётное натуральное число k, длякоторого целые числа вида k·2\textsuperscriptn − 1 составные для всехнатуральных чисел n. Другими словами, когда k — число Ризеля, всеэлементы множества{k2n1:nN} составные. В 1956году Ханс Ризель доказал, что существует бесконечное число целыхчисел k таких, что k·2\textsuperscriptn − 1 является составным длялюбого целого n. Он показал, что этим свойством обладает число 509 203,а также 509 203 плюс любое натуральное число, умноженное на 11 184 810.То, что какое-либо число является числом Ризеля, может быть показанонахождением покрывающего множества простых чисел, на которые будетделиться любой член последовательности. Известные числа Ризеля меньшеодного миллиона имеют следующие покрывающие множества:

  • 509 203·2\textsuperscriptn − 1: \{3, 5, 7, 13, 17, 241\};
  • 762 701·2\textsuperscriptn − 1: \{3, 5, 7, 13, 17, 241\};
  • 777 149·2\textsuperscriptn − 1: \{3, 5, 7, 13, 19, 37, 73\};
  • 790 841·2\textsuperscriptn − 1: \{3, 5, 7, 13, 19, 37, 73\};
  • 992 077·2\textsuperscriptn − 1: \{3, 5, 7, 13, 17, 241\}.

Проблема Ризеля состоит в определении наименьшего числа Ризеля.Так как ни для одного числа k \textless 509 203 не найдено покрывающеемножество, то предполагается, что 509 203 является наименьшим числомРизеля. Однако, по состоянию на февраль 2015 года для 50 значений k\textless 509 203 последовательность содержит только составные числадля всех проверенных значений n. Вот они: 2293, 9221, 23 669, 31 859,38 473, 46 663, 67 117, 74 699, 81 041, 93 839, 97 139, 107 347,121 889, 129 007, 143 047, 146 561, 161 669, 192 971, 206 039, 206 231,215 443, 226 153, 234 343, 245 561, 250 027, 273 809, 315 929, 319 511,324 011, 325 123, 327 671, 336 839, 342 847, 344 759, 362 609, 363 343,364 903, 365 159, 368 411, 371 893, 384 539, 386 801, 397 027, 409 753,444 637, 470 173, 474 491, 477 583, 485 557, 494 743.
 В проекте добровольных распределённых вычислений PrimeGrid длякандидатов на числа Ризеля рассчитываются значения последовательностейk·2\textsuperscriptn − 1 для всех натуральных n, начиная с 1. Если втакой последовательности оказывается простое число, то этот кандидатисключается из рассмотрения. С марта 2010 г. по февраль 2015 г. изкандидатов в числа Ризеля были исключены 14 чисел .
 Натуральное число может быть одновременно числом Ризеля и числомСерпинского, например .