Числа Серпинского

 В теории чисел нечётное натуральное число k являетсячислом Серпинского, если для любого натурального числа nчисло k2n+1 является составным. Числа Серпинского названы так вчесть открывшего их существование польского математика ВацлаваСерпинского.
 Существование чисел Серпинского довольно неочевидно. Например, еслирассмотреть последовательность 32n+1, то в ней регулярно будутвстречаться простые числа, и неожиданным является тот факт, что длянекоторых k в последовательности k2n+1 никогда невстретится простое число.
 Чтобы доказать, что число k не является числом Серпинского, нужнонайти такое n, что число k2n+1 является простым.

Известные числаСерпинского


 Последовательность известных на данный момент чисел Серпинскогоначинается так:

 , , , \ldots
 То, что число является числом Серпинского, было доказано в 1962 году ,который показал, что каждое число вида 785572n+1 делится покрайней мере на одно число из покрывающего множества \{3, 5, 7, 13, 19,37, 73\}. Аналогично доказывается, что также является числомСерпинского: каждое число вида 2711292n+1 делится по крайнеймере на одно число из множества \{3, 5, 7, 13, 17, 241\}. Все известныена данный момент числа Серпинского обладают подобными покрывающимимножествами.

ПроблемаСерпинского


 Задача отыскания минимального числа Серпинского известна какпроблема Серпинского.
 В 1967 году Селфридж и Серпинский предположили, что является наименьшимчислом Серпинского. Доказательством этой гипотезы занимаются проектыраспределённых вычислений Seventeen or Bust и PrimeGrid.
 К концу 2016 года из шести чисел-кандидатов, которые могли быопровергнуть эту гипотезу, осталось пять: и (число 10223 было отвергнутов ноябре 2016 года).