Интервалы между простыми числами

Интервалы между простыми числами — это разности между двумяпоследовательными простыми числами. n-ый интервал, обозначаемыйgn, — это разность между n+1-м и n-ым простымичислами, то есть

gn=pn+1pn.
 Мы имеем: g1=1,g2=g3=2,g4=4. Последовательность gn интерваловмежду простыми хорошо изучена. Иногда рассматривают функцию g(pn)вместо gn
 Первые 30 интервалов между простыми числами следующие:

 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8,4, 2, 4, 2, 4, 14 .

Простыезамечания


 Для любого простого числа P, символом P\# мы будемобозначать праймориал P, то есть произведение всех простых чисел,не превосходящих P. Если Q — это простое число,следующее за P, то последовательность

P#+2,P#+3,...,P#+(Q1)
 является последовательностью из Q2 последовательных составных чисел,поэтому существуют интервалы между простыми длины не меньше, чем Q1.Следовательно, существуют сколь угодно большие интервалы между простымичислами, и для любого простого P существует n такое, чтоgnP (Очевидно, что для этого мы можем выбрать nтаким, что pn будет наибольшим простым числом, не превосходящимP#+2.). Другой способ увидеть, что существуют сколь угодно большиеинтервалы между простыми числами, использует тот факт, что множествопростых чисел имеет нулевую плотность, согласно теореме о распределениипростых чисел.
 На самом деле, интервал между простыми величины P можетвстретиться между простыми, гораздо меньшими, чем P\#. Например,самая первая последовательность из 71 последовательных составных чиселнаходится между 31398 и 31468, в то время как 71\# является27-значным числом.
 Уже среднее значение интервалов между простыми растет как натуральныйлогарифм n.
 С другой стороны, гипотеза о простых близнецах утверждает, что gn=2для бесконечно многих n.
 Интервалы между простыми могут быть оценены сверху и снизу с помощьюфункции Якобсталя

Численныерезультаты


 На 2009 г. наибольший известный интервал между числами, определеннымикак вероятно простые, имеет длину 2254930, с 86853-значными вероятнопростыми был найден H. Rosenthal и J. K. Andersen. Наибольший известныйинтервал между простыми числами — это интервал длины 337446, с7996-значными простыми найден T. Alm, J. K. Andersen и Francois Morain.
 Будем говорить, что gn является максимальным интервалом, если длявсех $k
\#g\textsubscriptnp\textsubscriptn
515821346294310749
525881408695493609
536021968188556461
546522614941710599
556747177162611713
5671613829048559701
5776619581334192423
5877842842283925351
5980490874329411493
60806171231342420521
61906218209405436543
629161189459969825483
639241686994940955803
6411321693182318746371
65118443841547845541059
66119855350776431903243
67122080873624627234849
681224203986478517455989
691248218034721194214273
701272305405826521087869
711328352521223451364323
721356401429925999153707
731370418032645936712127
741442804212830686677669
7514761425172824437699411
\captionОт 51 до 75

Наибольшие интервалы первых десятитысяч


 Уже во второй тысяче имеется интервал, длиной 34 числа, в котором нетпростых чисел - (1327-1361). Причём, этот интервал удерживает свойрекорд длины до десятой тысячи. Лишь в девятой тысяче имеется второйинтервал такой же длины - (8467-8501), а в десятой - более длинныйинтервал (36 чисел) - (9551-9587), который и является самым длинныминтервалом первых десяти тысяч. Имеется также интервал длиной 32 числа -(5591-5623).

Наибольшие интервалы первых статысяч


 В пределах первых ста тысяч имеются следующие интервалы длиной 50 иболее чисел, в которых нет ни одного простого числа:
 72 числа: 31397-31469
 64 числа: 89689-89753
 62 числа: 34061-34123
 60 чисел: 43331-43391
 58 чисел:
 44293-44351
 \texttt       58831-58889
 \texttt       79699-79757
 \texttt       85933-85991
 56 чисел: 82073-82129
 54 числа:
 35617-35671
 \texttt       40289-40343
 \texttt       40639-40693
 \texttt       86869-86923
 52 числа:
 19609-19661
 25471-25523
 \texttt       35677-35729
 \texttt       43801-43853
 \texttt       48679-48731
 \texttt       59281-59333
 \texttt       74959-75011
 50 чисел:
 31907-31957
 \texttt       45893-45943
 \texttt       60539-60589
 \texttt       69263-69313
 \texttt       95651-95701

Некоторые крупные интервалы в пределах первогомиллиона


 Вот некоторые (не все) интервалы без простых чисел длиной в 80 и болеечисел в пределах первого миллиона:
 114 чисел: 492113-492227
 112 чисел: 370261-370373
 96 чисел: 360653-360749
 90 чисел: 576791-576881
 86 чисел:
 155921-156007
 840353-840439
 84 числа: 990053-990137
 Источником такой информации явилась непосредственная проверка пяти- ишестизначных чисел на простоту со стороны автора этого и предыдущегораздела. Числа автор проверял с помощью обычного приложения Excel, где впервую колонку заносились претендующие на простоту числа, во вторую и впоследующие - результаты их деления на 7, 11, 13, 17, 19, 23 и т.д.

Дальнейшиерезультаты


Верхниеоценки


 Постулат Бертрана утверждает, что для любого k всегда существуетхотя бы одно простое число между k и 2k, поэтому, вчастности, pn+1<2pn, откуда $g_n Теорема о распределении простых чисел говорит, что «средняя длина»интервалов между простым p и следующим простым числом имеетпорядок lnp. Фактическая длина интервалов может быть больше илименьше этого значения. Однако, из теоремы о распределении простых чиселможно вывести, верхнюю оценку для длины интервалов простых чисел: длялюбого ε>0 существует такое N, что для всех n>Nбудет gn<εpn.
 Hoheisel первым показал что существует такое постоянное θ<1

π(x+xθ)π(x)xθlnx   при  x +
 отсюда следует, что

 $g_n для достаточно большого n.
 Отсюда следует, что интервалы между простыми становятся сколь угодноменьше по отношению к простым: частное gnpn стремится кнулю при n стремящемся к бесконечности.
 Hoheisel получил возможное значение 32999/33000 для θ. Эта оценкабыла улучшена до 249/250 Хейлборном, и доθ=34+ε для любого ε>0Чудаковым.
 Основное улучшение было получено Ингамом,, который показал, что если

ζ(1/2+it)=O(tc)
 для некоторой константы c>0, где O используется в смысленотации O большое, то

π(x+xθ)π(x)xθlnx
 для любого θ>1+4c2+4c. Здесь, как обычно, ζобозначает дзета функцию Римана, а π(x) — функция числа простыхчисел не превосходящих x. Известно, что допускаетсяc>16, откуда в качестве θ можно взять любое число,большее 58. Из результата Ингама сразу следует, что всегдасуществует простое число между числами n3 и (n+1)3 для достаточнобольших n. Заметим, что ещё не доказана гипотеза Линделёфа,которая утверждает, что в качестве c может быть выбрано любоеположительное число, но из неё следует, что всегда существует простоечисло между n2 и (n+1)2 для достаточно больших n (см. такжеГипотеза Лежандра). Если эта гипотеза верна, то возможно, что необходимаещё более строгая гипотеза Крамера. Одним из достигнутых приближений кгипотезе Лежандра является доказанный факт о том, чтоg(pn)=O(pn2140).
 Хаксли показал, что можно выбрать θ=712.
 Последний результат принадлежит Baker, Harman and Pintz, показавшим, чтоθ может быть взято равным 0,525.
 В 2005, Daniel Goldston, Janos Pintz и Cem Y?ld?r?m доказали, что

lim infn+gnlnpn=0
 и позже улучшили это до

lim infn+gnlnpn(lnlnpn)2<
 В 2013 Чжан Итан представил статью, где доказывается, что

lim infn+gn<70000000
 Этот результат многократно улучшался вплоть до

lim infn+gn<247
 В частности, отсюда следует, что множество всех пар простых чисел,разницы между которыми не превосходит 246, бесконечно.

Нижниеоценки


 Роберт Ранкин доказал, что существует константа c>0 такая, чтонеравенство

gn>clnnlnlnnlnlnlnlnn(lnlnlnn)2
 сохраняется для бесконечно многих значений n. Наилучшее известноезначение для c на текущий момент — это c=2eγ, гдеγ — постоянная Эйлера-Маскерони. Пауль Эрдёш предложил приз в\$5000 за доказательство или опровержение того, что константа c внеравенстве выше может быть сколь угодно большой.

Гипотезы о интервалах между простымичислами


 Здесь возможны ещё лучшие результаты, чем те, которые могут бытьполучены при предположении истинности гипотезы Римана. Harald Cramerдоказал, что если гипотеза Римана верна, то интервалы g(pn)удовлетворяют соотношению

g(p_n) = O(\sqrt{p_n \ln p_n),
 (здесь используется нотация O большое). Позже он предположил, чтоинтервалы растут гораздо меньше. Грубо говоря, он предположил, что

g(pn)=O(ln2pn).
 В данный момент на это указывают численные расчеты. Для более детальнойинформации см. Гипотеза Крамера.
 Гипотеза Андрики утверждает, что

g(p_n) < 2\sqrt{p_n + 1.
 Это слабое усиление гипотезы Лежандра, которая утверждает, что междулюбой парой квадратов натуральных чисел существует хотя бы одно простоечисло.

Интервалы между простыми как арифметическаяфункция


 Интервал gn между n-ым и n+1-ым простым числом являетсяпримером арифметической функции. В таком контексте обычно её обозначаютdn и называют разностью между простыми. Разность между простыми неявляется мультипликативной и не является аддитивной.