Processing math: 100%

Частное Ферма

 В теории чисел частным Ферма для целого a ≥ 2 по простойбазе p называется дробь
qp(a)=ap11p.
 Если a взаимно просто с p, то малая теорема Фермаутверждает, что qp(a) будет целым.Частное названо в честь Пьера Ферма.

Свойства


 Из определения очевидно, что
qp(1)0(modp)
qp(a)qp(a)(modp)
 В 1850 году Готтхольд Эйзенштейн (Gotthold Eisenstein) доказал, что еслиa и b оба взаимно просты с p, то:
qp(ab)qp(a)+qp(b)(modp);
qp(ar)rqp(a)(modp);
qp(a+p)qp(a)1a(modp);
qp(p1)1(modp);
qp(p+1)1(modp).
 Эйзенштейн сравнивал два первых соотношения со свойствами логарифмов.
 Из этих свойст вытекает
qp(1/a)qp(a)(modp);
qp(a/b)qp(a)qp(b)(modp).
 В 1895 году Дмитрий Мириманов (Dmitry Mirimanoff) указал на то, чтопоследовательное применение правил Айзенштейна ведет к
qp(a+np)qp(a)n1a(modp). Отсюда следует,что
qp(a+np2)qp(a)(modp).

Специальныеслучаи


 Айзенштейн обнаружил, что частное Ферма по основанию 2 может бытьвыражено как сумма обратных величин к числам, находящимися в нижнейполовине интервала \{1, p − 1\}:
2qp(2)p12k=11k(modp).
 Более поздние авторы показали, что число элементов в таком представленииможет быть уменьшено до с 1/2 до 1/4, 1/5, или даже 1/6:
3qp(2)p4k=11k(modp).
4qp(2)2p10k=p10+11k+4p10k=3p10+11k(modp).
2qp(2)p3k=p6+11k(modp).
 Серии Айзенштейна имеют увеличивающуюся сложность отношений с частнымФерма по другим базисам, несколько первых примеров:
3qp(3)2p3k=11k(modp).
5qp(5)4p5k=11k+22p5k=p5+11k(modp).

Обобщенные простыеВифериха


 Если qp(a) ≡ 0 (mod p), тоa\textsuperscriptp-1 ≡ 1 (modp\textsuperscript2). Простые, для которых это верно дляa = 2 называются простыми Вифериха. В более общем случае ониназываются простыми числами Вифериха по простому основанию a.Известные решения qp(a) ≡ 0 (modp) для малых a :
 :\{\textbar \textbar- ! a ! p ! последовательностьOEIS \textbar- \textbar 2 \textbar\textbar 1093, 3511 \textbar\textbar- \textbar 3 \textbar\textbar 11, 1006003 \textbar\textbar- \textbar 5 \textbar\textbar 2, 20771, 40487, 53471161,1645333507, 6692367337, 188748146801 \textbar \textbar- \textbar 7\textbar\textbar 5, 491531 \textbar \textbar- \textbar 11\textbar\textbar 71 \textbar \textbar- \textbar 13\textbar\textbar 2, 863, 1747591 \textbar \textbar- \textbar17 \textbar\textbar 2, 3, 46021, 48947, 478225523351 \textbar\textbar- \textbar 19 \textbar\textbar 3, 7, 13, 43, 137,63061489 \textbar \textbar- \textbar 23 \textbar\textbar 13,2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329 \textbar \textbar\}Наименьшее решение qp(a) ≡ 0 (modp) с a = n-ым простое

 1093, 11, 2, 5, 71, 2, 2, 3, 13, 2, 7, 2, 2, 5, \ldots .
 Пара (p,r) простых чисел, такая, чтоqp(r) ≡ 0 (mod p) иqr(p) ≡ 0 (mod r) называетсяпарой Вифериха.