Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессиигласит: Пусть l,k>0 — целые числа, и (l,k)=1.
 Тогда существует бесконечно много простых чисел p таких, чтоpl(modk).
 Из этого следует, что каждая бесконечная арифметическая прогрессия,первый член и разность которой — натуральные взаимно простые числа,содержит бесконечное число простых чисел.

Историядоказательств


 Теорема в данной формулировке была доказана Дирихле аналитическимисредствами в 1837 году. В дальнейшем были найдены доказательство теоремыэлементарными методами. Различные такие доказательства представилиМертенс, Сельберг и Цассенхаус.

Вариации


 При рассмотрении простых pl(modk) довольно частооказывается, что их множество обладает многими свойствами, присущимимножеству всех простых чисел. Существует немало теорем и гипотез,рассматривающих только простые числа из определённого класса вычетов,или соотношения множеств простых чисел из разных классов вычетов.
 Например, кроме основного утверждения теоремы Дирихле доказал в 1839году, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах lи k:

lims1+p1psln1s1=1φ(k),
 где суммирование ведётся по всем простым числам p с условиемpl(modk), а φ — функция Эйлера.
 Это соотношение можно интерпретировать как закон равномерногораспределения простых чисел по классам вычетов modk, поскольку

lims1+p1psln1s1=1,
 если суммирование ведётся по всем простым числам.
 Известно, что для любых взаимопростых чисел l и k рядp1p, где суммирование ведётся по простымpl(modk), расходится.