Гипотеза Эллиота Халберстама

Гипотеза Эллиота — Халберстама EH(θ) — это гипотезао распределении простых чисел в арифметической прогрессии. Она имеетмножество применений в методах решета. Название гипотеза получила вчесть Питера Эллиота и Хайни Халберстама .
 Пусть π(x) — число простых чисел не превышающих x. Если q —натуральное число, а a и q — взаимно простые числа, то мыобозначим π(x;q,a) — число простых чисел не превышающих x иравных a по модулю q. Теорема Дирихле о простых числах варифметической прогрессии утверждает, что:
π(x;q,a)π(x)φ(q),
где a и q —взаимно просты, а φ(q) — функция Эйлера.
 Определим теперь функцию погрешности
Δ(x;q)=max(a,q)=1|π(x;q,a)π(x)φ(q)|,

 где максимум берется по всем a, взаимно простым с q.
 Тогда для всех θ<1 и всех A>0 найдется константа C>0 ивыполняется
1qxθΔ(x;q)CxlnAx

 для всех x>2.
 Эта гипотеза была доказана для всех θ<12 Энрико Бомбьери иА. И. Виноградовым. Известно, что гипотеза не выполняется в крайнейточке θ=1.
 Гипотеза Эллиота — Халберстама имеет несколько следствий. Например,результат Дэна Голдстона утверждает, что в предположении справедливостигипотезы, существует бесконечно много пар простых чисел, которыеотличаются не более чем на 16. В ноябре 2013 года, Джеймс Мейнардпоказал, что из гипотезы Эллиота — Халберстама можно получитьсуществование бесконечного числа пар последовательных простых чисел,отличающихся не более чем на 12. В августе 2014 года группа Polymathпоказала, что при условии истинности обобщенной гипотезы Эллиота —Халберстама, существует бесконечно много пар последовательных простыхчисел, отличающихся не более чем на 6.