Теорема Харди Рамануджана

 В математике теорема Харди — Рамануджана утверждает, чтоскорость роста числа ω(n) различных простых делителей числа nопределяется функцией повторного логарифма — log(log(n)), а«разброс» числа делителей — квадратным корнем этой функции.

Теорема


 Пусть действительная f(n) такова, чтоlimnf(n)=, и пусть g(x) — число натуральныхчисел $n
 $|\omega(n)-\log(\log(n))| или более традиционно

|ω(n)log(log(n))|<(log(log(n)))12+ε ,где ε>0
 Тогда

limxg(x)x=1
 Простое доказательство этой теоремы нашел Пал Туран.

Обобщения иусиления


 Такой же результат верен и для числа всех простых сомножителей вразложении числа n.
 Эта теорема обобщается теоремой Эрдёша — Каца, в которой доказывается,что распределение различных простых делителей натуральных чисел являетсянормальным со «средним» и «дисперсией» равными log(log(n)). Такимобразом, имеется некоторая связь между распределением числа простыхделителей и предельными законами теории вероятностей — центральнойпредельной теоремой и законом повторного логарифма.