Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js

Теорема о распределении простых чисел

Теорема о распределении простых чисел — теорема аналитическойтеории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел. Аименно, она утверждает, что функция распределения простых чисел π(n)(количество простых чисел на отрезке [1;n]) растёт с увеличением nкак nlnn, то есть:

π(n)n/lnn1, когда n.
 Грубо говоря, это означает, что у случайно выбранного числа от 1 до nшанс оказаться простым примерно равен 1lnn.
 Также эта теорема может быть эквивалентным образом переформулирована дляописания поведения k-го простого числа pk: она утверждает, что

pkklnk,k
 (здесь и далее запись  fg означает, что f/g1 когдааргумент функций стремится к бесконечности).
 Более точно распределение простых чисел описывает функция интегральногологарифма. При справедливости гипотезы Римана верно

π(n)=li(n)+O(nlnn).

История


 Первым статистическую закономерность в расположении простых чиселподметил Гаусс. В письме Энке (1849) он сообщил, что ещё в 1792 или 1793году, чисто эмпирически, обнаружил, что плотность простых чисел «всреднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму». К этомувремени, основываясь на таблицах простых чисел, составленных Фелкелем иВегой, Лежандр предположил (в 1796 году), что функция распределенияпростых чисел π(x) (число простых чисел, не превосходящих x)может быть приближена выражением:

π(x)xln(x)B
 где B1,08366. Гаусс в упомянутом письме критикует формулуЛежандра и, используя эвристические рассуждения, предлагает другуюприближающую функцию — интегральный логарифм:

Li(x)=x21lnxdx
 Однако Гаусс нигде не опубликовал эту гипотезу. Оба приближения, какЛежандра, так и Гаусса, приводят к одной и той же предполагаемойасимптотической эквивалентности функций π(x) и x/ln(x),указанной выше, хотя приближение Гаусса и оказывается существенно лучше,если при оценке ошибки рассматривать разность функций вместо ихотношения.
 В двух своих работах, 1848 и 1850 года, Чебышёв доказывает, что верхнийM и нижний m пределы отношения


 заключены в пределах0,92129mM1,10555, а также, чтоесли предел отношения (1) существует, то он равен 1. Позднее(1881) Дж. Дж. Сильвестр сузил допустимый интервал для предела с 104В 1859 году появляется работа Римана, рассматривающая (введённую Эйлеромкак функцию вещественного аргумента) ζ-функцию в комплекснойобласти, и связывающая её поведение с распределением простых чисел.Развивая идеи этой работы, в 1896 году Адамар и Валле-Пуссенодновременно и независимо доказывают теорему о распределении простыхчисел.
 Наконец, в 1949 году появляется не использующее комплексный анализдоказательство Эрдеша—Сельберга.

Общий ходдоказательства


Переформулировка в терминах пси-функцииЧебышёва


 Общим начальным этапом рассуждений является переформулировка законараспределения простых чисел в терминах пси-функции Чебышёва,определяемой как


 \{psi(x)=\{sum\_\{p\^k \{lex\} \{log p, \{qquad \{qquad(*) иными словами, пси-функция Чебышёва это сумма функции Мангольдта:


 \{psi(x)=\{sum\_\{n\{le x\}\{Lambda(n), \{qquad\{Lambda(n)= \{begin\{cases\}\{log p, \& n=p\^k, \{,k\{ge 1, \{quad p\{,\{text\{is a prime\}\{\{ 0, \&\{text\{otherwise\}. \{end\{cases\}
 А именно, оказывается, что асимптотический закон распределения простыхчисел равносилен тому, что


 \{psi(x)\{sim x, \{quadx\{to \{infty. Это происходит из-за того,что логарифм «почти постоянен» на большей части отрезка [1,n], а вкладквадратов, кубов, и т. д. в сумму (*) пренебрежимо мал; поэтомупрактически все складываемые логарифмы lnp примерно равны lnx, ифункция ψ(x) асимптотически ведёт себя так же, какπ(x)lnx.

Классические рассуждения: переход к дзета-функцииРимана


 Как следует из тождества Эйлера,


 \{zeta(s)=\{prod\_p\{frac\{1\}\{1-p\^\{-s\}\}, ряд Дирихле («производящаяфункция»), соответствующий функции Мангольдта, равен минуслогарифмической производной дзета-функции:


 \{sum\_n \{Lambda(n) n\^\{-s\} = -\{frac\{\{zeta'(s)\}\{\{zeta(s)\}.
 Кроме того, интеграл по вертикальной прямой, находящейся справа от 0, отфункции as/s равен 2πi при a>1 и 0 при $0 Строгая реализация этой программы позволяет получить :


 \{psi(x)=x-\{sum\_\{frac\{x\^\{rho\}\{\{rho\}- \{log(2\{pi)-\{frac\{1\}\{2\}\{log(1-x\^\{-2\}).\{qquad \{qquad (**) Суммирование тутведётся по нулям ρ дзета-функции, лежащим в критической полосе0<Re(s)<1, слагаемоеlog(2π)=ζ(0)ζ(0) отвечает полюсуxss в нуле, а слагаемое log(1x2)/2 — такназываемым «тривиальным» нулям дзета-функции s=2,4,6,.
 Отсутствие нетривиальных нулей дзета-функции вне критической полосы ивлечёт за собой искомое утверждение ψ(x)x (сумма в формуле(**) будет расти медленнее, чем x). Кроме того, гипотеза Римана влечётза собой «оптимальную» оценку на возможные отклонения ψ(x) от x,и, соответственно, на отклонения π(x) от x/lnx.

Элементарное доказательство: завершениеЭрдеша-Сельберга


 Основная теорема арифметики, записывающаяся после логарифмирования как


 \{ln n = \{sum\_\{p,k: \{,p\^k\textbarn\} \{ln p тем самым формулируется втерминах арифметических функций и свёртки Дирихле как


 \{ln = \{Lambda *\{mathbf\{1\}, где ln и 1 — арифметическиефункции, логарифм аргумента и тождественная единица соответственно.
 Формула обращения Мёбиуса позволяет перенести 1 в правуючасть:


 \{Lambda= \{ln * \{mu,\{qquad \{qquad (**) где μ — функцияМёбиуса.
 Сумма левой части (**) — искомая функция ψ. В правой части,применение формулы гиперболы Дирихле позволяет свести сумму свёртки ксумме kL(nk)μ(k), где L —сумма логарифма. Применение формулы Эйлера-Маклорена позволяет записатьL(n) как

L(n)=nlnnn+12lnn+γ+o(1),
 где γ — постоянная Эйлера. Выделяя из этого выраженияслагаемые, имеющие вид kF(nk) дляподходящим образом подобранной функции F (а именно,F(x)=xγ1), и обозначая через R остаток, имеем в силуобращения Мёбиуса

Λ=F+kR(nk)μ(k).
 Поскольку F(x)x, остаётся проверить, что второе слагаемое имеетвид o(x). Применение леммы Аскера позволяет свести эту задачу кпроверке утверждения M(x)=o(x), гдеM(x)=nxμ(n) — функция Мертенса, суммафункции Мёбиуса.
 Малость сумм функции Мёбиуса на подпоследовательности следует из формулыобращения, применённой к функции 1/n.
 Далее, функция Мёбиуса в алгебре арифметических функций (смультипликативной операцией-свёрткой) удовлетворяет «дифференциальномууравнению» первого порядка

μ=μΛ,
 где f(n)=f(n)lnn — дифференцирование в этой алгебре(переход к рядам Дирихле превращает его в обычное дифференцированиефункции). Поэтому она удовлетворяет и уравнению второго порядка

μ=μ(ΛΛΛ).
 «Усредение» этого уравнения и то, что асимптотика суммы функцииΛ2=ΛΛ+Λ оценивается лучше асимптотики суммΛ, позволяет оценивать отношение M(x)x через средниезначения такого отношения. Такая оценка вкупе с «малостью поподпоследовательности» и позволяет получить искомую оценку M(x)=o(x).