Решётка

Решётка в теории групп может иметь два значения:

  • Дискретная подгруппа в группе Ли, факторпространство по которой имеет конечный объём в смысле меры Хаара. В частности, любая дискретная кокомпактная подгруппа группы Ли — решётка.
  • Свободная коммутативная группа конечного ранга (то есть изоморфная \Zn) с билинейной формой на ней.

Решётки в евклидовомпространстве


 В случае \Rn, решётки — в точности дискретные абелевы подгруппымаксимального вектора, то есть подгруппы, имеющие вид


 \{Gamma=\{Z v\_1+\{dots+\{Z v\_n, где вектора v1,,vnRn линейнонезависимы

Связанныепонятия


 Решётка Γ\Rn называется:

  • Целой, если скалярное произведение между любыми двумя её векторами целое:



 \{forall u,v\{in\{Gamma\{quad \{langle u,v\{rangle\{in\{Z.

  • Чётной, если норма любого её вектора чётная:



 \{forall v\{in\{Gamma\{quad \{langle v,v\{rangle\{in\{Z.

  • Унимодулярной, если фактор по ней имеет объём 1, или, что то же самое, если объём 1 имеет её фундаментальный параллелепипед.

Двойственной решёткой к решётке Γ называется решёткаΓ, определённая как


 \{Gamma\^\{\{perp\}= \{\{u\{mid \{forall v\{in\{Gamma \{quad \{langleu,v\{rangle \{in\{Z\{\}.
 Решётка называется самодвойственной, если она совпадает сдвойственной к себе.

Свойства



  • Если решётка Γ целая, то ΓΓ.
  • Кообъёмы решётки и двойственной к ней в произведении дают 1.
  • Целая унимодулярная решётка автоматически самодвойственна.
  • Чётные самодвойственные решётки существуют только в пространствах размерностей, кратных восьми.

Решётки вSL(2,R)


 В случае группы Ли SL(2,\R), решётка уже не обязательно кокомпактна:так, для подгруппы SL(2,\Z)SL(2,\R) объём фактора по нейконечен, однако SL(2,\Z) не является кокомпактной (фактор по ней —единичное касательное расслоение к модулярной поверхности, имеющейкаспидальную особенность, и, тем самым, некомпактной).