Теорема Минковского о выпуклом теле

Теорема Минковского о выпуклом теле — одна из теоремгеометрии чисел, послужившая основой выделения геометрии чисел в разделтеории чисел. Установлена Германом Минковским в 1896.

Формулировка


 Пусть S — замкнутое выпуклое тело, симметричное относительно началакоординат O, n-мерного евклидова пространства, имеющее объём2n. Тогда в S найдётся целочисленная точка, отличная отO.

Доказательство


 Ниже приведено доказательство теоремы Минковского для частного случая .Оно может быть обобщено на произвольную размерность.
 Рассмотрим отображение
f:SR2(x,y)(xmod2,ymod2)
Интуитивно, это отображение нарезает тело на квадраты размером 2 на 2,которые накладывает один поверх другого. Очевидно, что площадь . Если быотображение было инъективно, то части , вырезанные квадратами,совмещались бы без перекрытия. Так как сохраняет локальные площадифрагментов, то это свойство непересечения сделало бы отображениесохраняющим площадь всего , так что площадь была бы такой же, как у -численно больше 4. Раз это не так, то не инъективно, а следовательно,для некоей пары точек . Более того, по определению мы знаем, что длянеких целочисленных и , где хотя бы одно из них не равно нулю.
 Тогда, так как симметрично относительно начала координат, также входит в. Так как выпукло, то отрезок между и полностью лежит в . Середина этогоотрезка
12(p1+p2)=12(p1+p1+(2i,2j))=(i,j)
лежит в . является целочисленной точкой и не является началом координат( и не могут оба быть равными нулю). Таким образом, мы нашли искомуюточку.

Вариации иобобщения



  • Обобщением теоремы Минковского на невыпуклые множества является теорема Блихфельдта.
  • В 2007 году Николай Дуров показал, что теорема Минковского может быть воспринята как вариант теоремы Римана — Роха для пополненного спектра \Z .