Унимодулярная решётка

Унимодулярная решётка — целая решётка с определителем ±1.Последнее эквивалентно тому, что объём фундаментальной области решёткиравен 1.

Определения



  • Решётка — свободная абелева группа Zn конечного ранга n с симметричной билинейной формой (,).
  • Решётку можно также рассматривать как подгруппу в вещественном векторном пространстве Rn с симметрической билинейной формой.
  • Число n называется размерностью решётки, это размерность соответствующего вещественного векторного пространства; это то же, что и ранг Z-модуля Zn, или число образующих свободной группы Zn.
  • Решётка называется целой, если форма (,) принимает только целочисленные значения.
  • Норма элемента a решётки определяется как (a,a).
  • Решетка называется положительно определённой или лоренцевой, и так далее, если его векторное пространство таково. В частности:
    • Решётка является положительно определённой, если норма всех ненулевых элементов положительна.
    • Сигнатура решетки определяется как сигнатура формы на векторном пространстве.

  • Определитель решётки — это определитель матрицы Грамма её базиса.
  • Решётка называется унимодулярной, если её определитель равен ±1.
  • Унимодулярная решетка называется чётной, если все нормы её элементов чётны.

Примеры



  • ZR, а также ZnRn — унимодулярные решётки.
  • Решётка E8, решётка Лича — чётные унимодулярные решётки.

Свойства



  • Для данной решётки в ΛRn вектора xRn такие, что (x,a)Z для любого aΛ также образуют решётку называемую двойственной решёткой к Λ.
    • Целая решетка унимодулярна тогда и только тогда, когда её двойственная решетка является целой.
    • Унимодулярная решётка тождественна своей двойственной. По этой причине унимодулярные решётки также называются самодвойственными.

  • Нечётные унимодулярные решетки существует для всех сигнатур.
  • Чётная унимодулярная решетка с сигнатурой (m,n) существует тогда и только тогда, когда mn делится на 8.
    • В частности, чётные положительно определенные унимодулярные решетки существуют только в размерностях, кратных 8.

  • Тета-функция унимодулярных положительно определенных решёток является модулярной формой.

Приложения



  • Вторая группа когомологий замкнутых односвязных ориентированных топологических четырёхмерных многообразий является унимодулярной решеткой. Михаил Фридман показал, что эта решетка практически определяет многообразие: существует единственное многообразие для каждой чётной унимодулярной решётки, и ровно по два для каждой нечётный унимодулярной решётки.
    • В частности, для нулевой формы это влечёт гипотезу Пуанкаре для 4-мерных топологических многообразий.
    • Теорема Дональдсона гласит, что если многообразие является гладким и его решётка положительно определена, то она должна представлять собой сумму копий Z.
      • В частности, что большинство из этих многообразий не имеет гладкой структуры.