Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Новое время

 Расцвет теории чисел начинается в новое время и связан в первую очередь с работами величайшего французского математика П.Ферма (XVII в.), которые были посвящены, прежде всего, решению многих уравнений в целых числах и делимости целых чисел.В частности, Ферма сформулировал одну из важнейших теорем теории сравнений о том, что для любого простого p и целого a , apa делится на p, названную малой теоремой Ферма, а также доказал, что простые числа вида 4n+1 единственным образом разлагаются в сумму двух квадратов (эту теорему можно считать первым важным предположением о квадратичных формах).Ферма владел решением уравнения x2ay2=1, где a - целое положительное число, не равное квадрату (найти решение удалось Валлису и Броукеру, однако в последствии это уравнение вошло в математическую литературу под название уравнения Пелля). В качестве вызова математикам он предложил доказать, что это уравнение всегда имеет решение в целых числах x,y(y0). Впервые оно было доказано Лагранжем, который использовал эту теорему для полного решения в целых числах любого неопределенного уравнения второй степени с двумя неизвестными ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0.Ферма высказал утверждение, что он владеет замечательным доказательством неразрешимости уравнения xn+yn=zn для n>2 в целых числах. Данное утверждение носит название Великой теоремы Ферма. Доказательство этой теоремы искали многие математики на протяжении трехсот лет. Попытки решить проблему Ферма стимулировали развитие теории алгебраических чисел. Окончательно теорема была доказана английским математиком Эндрю Уайлсом в 1995 году. Ферма было сформулировано утверждение о том, что всякое натуральное число является суммой n или меньшего числа n -угольных чисел, которое можно считать одним из самых первых в аддитивной теории чисел. В общем виде оно было доказано Коши (1815). Ферма не оставил систематического изложения своих открытий и методов. Результаты, найденные им, записаны лишь без доказательств на полях его рабочего экземпляра Диофанта или имеются в письмах к современным математикам, но тоже без доказательств.Обобщением малой теоремы и доказательством великой теоремы для частных случаев занимался в начале XVIII века Эйлер. По теории чисел он написал более 100 мемуаров, доказал почти все теоремы Ферма. Он же стал использовать для решения задач по теории чисел мощный аппарат математического анализа, сформулировав метод производяших функций, тождество Эйлера, а также задачи, связанные со сложением простых чисел. Исходя из малой теоремы Ферма Эйлер доказал теорему, что aϕ(m)1 делится на m, если (a,m)=1 и ϕ(m)(функция Эйлера) – число натуральных чисел, не превосходящих m и взаимно простых с ним. Данная теорема в настоящее время носит название теоремы Эйлера. В 1772 г. эмпирически нашел закон взаимности, который характеризует остатки, получающиеся от деления квадратов на простые числа. Этот закон имеет фундаментальное значение для решения неопределенных уравнений второй степени. Кроме того, Эйлер обобщил основной результат Ферма для случая делимости на составные числа, создал общую теорию так называемых степенных вычетов, получил очень большое число разнообразных результатов о представимости чисел в виде форм определенного типа, исследовал ряд систем диофантовых уравнений и получил интересные результаты о разбиении чисел на слагаемые. У Эйлера мы впервые встречамся с идеей применения методов математического анализа к задачам теории чисел. Он дал новое доказательство бесконечности количества простых чисел, применив для этого аппарат математического анализа, и положил этим начало аналитической теории чисел. Рассмотрение бесконечных рядов и произведений явилось у Эйлера действенным орудием для получения теоретико-числовых результатов. После работ Эйлера почти все крупные математики XVIII и XIX веков в той или иной степени занимаются теорией чисел. В частности, существенный след в развитии теории чисел оставил французский математик Ж. Лагранж, развивший дальше методы Эйлера.Лагранж заложил основы общей теории бинарных квадратичных форм (впоследствии развитая Гауссом) и решил неоднородное уравнение второй степени с двумя неизвестными, используя свойства цепных дробей, значительно развил теорию цепных дробей и нашел метод приближенного решения дифференциальных уравнений с их помощью.Лагранж доказал также частный случай утверждения Ферма о многоугольных числах: каждое целое положительное N есть сумма не более 4 квадратов.Большое влияние на дальнейшее развитие теории чисел оказали и работы А.Лежандра по теории \textcolorblueдиофантовых уравнений высших степеней. Лежандр нашел также эмпирическую формулу для числа простых чисел в заданных пределах. Работы Эйлера, Лагранжа и Лежандра создали базу для цельной теории, получившей позже у Гаусса название теории сравнений. Работы немецкого математика К.Гаусса имели особенно большое значение для всей теории чисел. Ему принадлежат крупные открытия, среди которых: создание аппарата сравнений и доказательство основного закона теории сравнений второй степени – так называемого закона взаимности (работы по теории сравнений 2-й степени придали ей законченный вид, так что в настоящее время вся эта область теории чисел базируется на результатах, изложенных им в книге «Арифметические исследования»). Он развил теорию квадратичных форм, теорию целых комплексных чисел (целых гауссовых чисел), имевшую большое значение для развития алгебраической теории чисел, рассматривал также особые тригонометрические суммы, сыгравшие важную роль в аналитической теории чисел.После работ Гаусса в течение всего XIX века и до сегодняшнего дня исследования по теории чисел приобретают все увеличивающийся размах.