XIX век

 XIX век развития теории чисел характеризуется работами Гаусса, а также дальнейшей разработкой глубоких идей, изложенных в его трудах, значительное укрепление аналитических методов исследования и успешное решение различных проблем в теории распределения простых чисел, а также создание новых направлений в теории чисел: геометрической и трансцендентной теории чисел.Важную роль в разработке идей Гаусса, изложенных в его «Арифметических исследованиях», сыграл Дирихле. Его работы оказали большое влияние на развитие теории алгебраических чисел и аналитических методов теории чисел.В создании основ алгебраической теории большие заслуги имеет Куммер, который ввел так называемые идеальные числа и дал доказательство теоремы Ферма для целого ряда показателей, в том числе для n<100. Его идеи в дальнейшем были развиты в работах Кронекера и Дедекинда. Начатые Гауссом исследования, касающиеся законов взаимности, были обобщены математиками К. Якоби, Г. Эйзенштейном и Д. Гильбертом. Дальнейшее развитие теории форм привело Г. Минковского и Г. Ф. Вороного к открытию геометрической теории чисел.В развитии трансцендентных чисел важные результаты были получены французскими математиками. Ж. Лиувилль открыл необходимый признак алгебраического числа и получил метод построения трансцендентных чисел. Ш. Эрмит развил теорию квадратичных форм и нашел элементарный метод доказательства трансцендентности числа e, а немецкий математик Ф. Линдеман этим же методом доказал трансцендентность числа π. Важный вклад в развитие теории чисел в XIX в. внесли русские математики.В. Я. Буняковский посвятил теории чисел более 40 работ (среди них имеются: доказательства закона взаимности, задачи диофантова анализа, исследование свойств числовых функций, вопросы Эратосфенова решета и др.), принял участие в издании арифметических работ Л. Эйлера и привлек к этому П. Л. Чебышева, дальнейшие открытия и научная деятельность в области теории чисел которого создали целую школу, известную как Петербургская школа теории чисел, сыгравшую большую роль в развитии теории чисел.Исследования Чебышева в области теории чисел относятся к вопросу о распределении простых чисел. Изучением этой проблемы занимались со времен Евклида. Лежандр и Гаусс нашли эмпирические формулы для количества простых чисел π(x), не превосходящих данное число , однако подкрепить эти формулы теоретическими доводами ученые не сумели. Чебышев стал первым, кто достиг важных теоретических результатов в этом труднейшем вопросе теории чисел. В своих работах он значительно продвинулся в теоретическом обосновании так называемого асимптотического закона распределения простых чисел (доказательства того, что limx(π(x)lnxx)=1), который средствами теории функций комплексного переменного был полностью доказан французским математиком Ж. Адамаром и бельгийским математиком Ш. Ж. Валле-Пуссеном пятьдесят лет спустя.Выдающиеся представители Петербургской школы теории чисел А. Н. Коркин (1837-1908), Е. И. Золотарев (1847-1878), А.А. Марков (1856-1922) и Г. Ф. Вороной нашли новые методы и направления в теории чисел. Они провели глубокие исследования, касающиеся квадратичных форм, которые по сей день остаются предметом внимательного изучения. Вороной сделал важные открытия в геометрии чисел и некоторыми своими работами стимулировал развитие современной аналитической теории. Работы Маркова имеют важное значение для решения задачи о приближении действительного числа рациональной дробью.Последователями Чебышева в направлении исследований по вопросам распределения простых чисел были П. В. Преображенский (1846-1905), П. С. Порецкий (1846-1907) и др. Следует отметить значительный вклад в развитие теории чисел московского ученого Н. В. Бугаева (1837-1903), который посвятил многочисленные ценные труды изучению различных числовых функций и указал на большое значение прерывных функций в математике вообще. В этом же направлении работали его ученики Н. Я. Сонин (1849-1915), Д. Ф. Егоров (1869-1931), Н. В. Берви, И. И. Чистяков и др.