XX век

 В первой половине XX века над проблемами теории чисел работали Герман Вейль, сформулировавший соотношение для равномерного распределения дробных долей целочисленных функций, Г.Харди и Дж. Литлвуд, которые сформулировали круговой метод решения аддитивных задач, А. О. Гельфонд и Т. Гнейдер, которые решили 7-ю проблему Гильберта, К. Зигель, который доказал ряд теорем о трансцендентности значений функций, Б. Н. Делоне и Д. К. Фаддеев, которые занимались исследованием диофантова уравнения, А.Сельберг, который работал в теории дзета-функции Римана.Начиная с тридцатых годов в развитии \textcolorblueтеории чисел ведущее место занимает советская школа теории чисел во главе с академиком И.М. Виноградовым, доказавшим неравенство о числе квадратичных вычетов и невычетов на отрезке, определившим метод тригонометрических сумм, т.е. сумм вида e2πif(x), где f(x) – некоторая функция от x, а x пробегает ту или иную числовую последовательность. Метод позволил упростить решение проблемы Варинга: доказать, что для любого целого числа n2 существует такое натуральное число r=r(n), что всякое натуральное число N можно представить как сумму r неотрицательных n-х степеней. Впервые в 1909 году эту проблему решил Д. Гильберт, но очень громоздким способом и с грубой оценкой числа слагаемых. Виноградов методом тригонометрических сумм добился больших успехов. Тем же методом 1937 г. он доказал справедливость гипотезы Гольдбаха для достаточно больших нечетных чисел, т.е доказал, что все нечетные числа, начиная с некоторого, являются сумами трех простых.Первые успехи в решении проблемы Гольдбаха также принадлежат советскому математику Л.Г. Шнирельману, который в 1930 г. новым методом, имеющим фундаментальное значение в аддитивной теории чисел, установил, что всякое целое число является суммой ограниченного числа простых чисел. В 1943 г. советский математик Ю.В. Линник методом Шнирельмана дал элементарное решение проблемы Варинга, в 1946 г. аналитическим методом теории функции комплексного переменного доказал теорему Гольдбаха – Виноградова, а в 1959 г. – предположение Харди и Литвуда о том, что каждое достаточно большое натуральное число есть сумма простого числа и двух квадратов целых чисел.Крупные успехи достигнуты в теории трансцендентных чисел. Найдены методы для определения арифметической природы (относительно трансцендентности) довольно широких классов чисел. Важнейшую роль в этой области сыграл аналитический метод, созданный советским математиком А.О. Гельфондом. В 1934 г. он доказал, что αβ, где α – алгебраическое число, отличное от нуля и 1, а β - алгебраическое иррациональное число, является трансцендентным числом, и решил этим так называемую 7-ю проблему Гильберта, которая в течение 30 лет не поддавалась усилиям математиков. Важные результаты в области трансцендентных чисел принадлежат немецкому математику К. Зигелю.В теории приближения алгебраических чисел при помощи рациональных большую роль сыграли исследования норвежского математика А. Туэ, которые были продолжены Зигелем, Дайсоном, Гельфондом и Ротом. При помощи теоремы Туэ впервые удалось получить сведения о числе решений неопределенного уравнения n-й степени с двумя неизвестными. Советский математик Б.Н. Делоне достиг значительных успехов в области решения диофантовых уравнений третьей степени.Важные результаты принадлежат Б.Н. Делоне и Б.А. Венкову в геометрической теории чисел и А.Я. Хинчину в \textcolorblueтеории диофантовых приближений.В алгебраическую теорию чисел крупный вклад внесли советский математик Н.Г. Чеботарев, немецкие математики Хассе и Хеке и французский математик А. Вейль. Важным результатом является общий закон взаимности, открытый и доказанный советским математиком И.Р. Шафаревичем в 1949 г.В элементарной теории чисел необходимо отметить метод эратосфенова решета, созданный норвежским математиком В. Бруном в 1919 г. Этот метод, получивший далее развитие в работах А. Сельберга, советского математика А.А. Бухштаба и других ученых, успешно применяется в решении аддитивных проблем.