Целочисленные решетки

 Рассмотрим действительное евклидово пространство Rs. Целочисленной решеткой называется конструкция вида
Γ={m1γ(1)+m2γ(2)++msγ(s)|m1,,msZ},(1)
где γ(1),γ(2),,γ(s) линейно независимые точки Rs. Эти точки называют базисом решетки Γ. Определителем решетки называют модуль определителя
|γ(1)γ(s)|=|γ1(1)γ2(1)γs(1)γ1(s)γ2(s)γs(s)|.
Отметим важный класс целочисленных решеток с определителем 1 (так называемые унимодулярные решетки), так как они покрывают все пространство Zs. Действительно, решим систему уравнений
(γ1(1)γ1(2)γ1(s)γs(1)γs(2)γs(s))(m1ms)=(x1xs),
где x1,,xsZ. Согласно методу Крамера
mi=|γ1(1)m1γ1(s)γs(1)msγs(s)||γ1(1)γ1(i)γ1(s)γs(1)γs(i)γs(s)|,i=1,s¯.
Тогда, так как определитель в знаменателе равен 1, все числа m1,m2, ,ms целые. А значит, любая целочисленная точка Rs, принадлежит решетке.