Processing math: 100%

Целочисленные решетки

 Рассмотрим действительное евклидово пространство Rs. Целочисленной решеткой называется конструкция видаΓ={m1γ(1)+m2γ(2)++msγ(s)|m1,,msZ},(1)где γ(1),γ(2),,γ(s) линейно независимые точки Rs. Эти точки называют базисом решетки Γ. Определителем решетки называют модуль определителя|γ(1)γ(s)|=|γ(1)1γ(1)2γ(1)sγ(s)1γ(s)2γ(s)s|.Отметим важный класс целочисленных решеток с определителем 1 (так называемые унимодулярные решетки), так как они покрывают все пространство Zs. Действительно, решим систему уравнений(γ(1)1γ(2)1γ(s)1γ(1)sγ(2)sγ(s)s)(m1ms)=(x1xs),где x1,,xsZ. Согласно методу Крамераmi=|γ(1)1m1γ(s)1γ(1)smsγ(s)s||γ(1)1γ(i)1γ(s)1γ(1)sγ(i)sγ(s)s|,i=¯1,s.Тогда, так как определитель в знаменателе равен 1, все числа m1,m2, ,ms целые. А значит, любая целочисленная точка Rs, принадлежит решетке.