Processing math: 100%

Характер кубического вычета

Характер кубического вычета — теоретико-числовая функция двухаргументов, являющаяся частным случаем . Также является характером впростом поле.
 Характер кубического вычета является аналогом символа Лежандра, и дляего вычисления используется кубический закон взаимности,являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

Определение


 Пусть кубический корень из единицы.
 Рассмотрим D=Z[w] — кольцо чисел Эйзенштейна, то есть чиселвида где a и b — целые числа.
 Пусть π — простое в кольце D с нормой N(π), такое чтоN(π)3. В этом случае N(π)1 делится на 3. Определимхарактер кубического вычета следующим образом:

  • (απ)3=0, если α делится на π.
  • (απ)3=α(N(π)1)/3modπ иначе.

 Заметим, что при π, не делящем α , значение характеракубического вычета принимает одно из трёх значений:{1, ω, ω2}.

Кубический законвзаимности


 Назовём π примарным, если оно является простым в D исравнимо с 2 по модулю 3. Пусть π и θ — примарные, тогда

Другие свойства характера кубическоговычета



  • (απ)3=1 тогда и только тогда, когда сравнение x3αmodπ разрешимо в Z[ω], то есть тогда и только тогда, когда α — кубический вычет
  • Мультипликативность: (αβπ)3=(απ)3(βπ)3
  • Периодичность: если αβmodπ, то (απ)3=(βπ)3
  • Если π=1+3(m+nω) — примарное, то

 :* (ωπ)3=ωm+n
 :* (1ωπ)3=ω2m

Списоклитературы




 \textbarподзаголовок \textbarзаглавие= Классическое введение всовременную теорию чисел \textbarоригинал= \textbarссылка=\textbarавтор= Айерлэнд К., Роузен М. \textbarгод=1987\textbarместо= Москва \textbarиздательство=Мир \textbarстраницы=\textbarisbn= \}\}


 \textbarподзаголовок \textbarзаглавие= Reciprocity laws: From Eulerto Eisenstein \textbarоригинал= \textbarссылка= \textbarавтор=Franz Lemmermeyer \textbarгод=2000 \textbarместо= Springer Verlag\textbarиздательство= \textbarстраницы= \textbarisbn=3-540-66957-4\}\}
 Категория:Алгебраическая теория чисел Категория:Теоремы теории чисел