Гипотеза Эрдёша Грэма

Гипотеза Эрдёша — Грэма — предположение в комбинаторнойтеории чисел относительно проблемы разбиения множества целых чисел,больших единицы, на конечное число подмножеств, одно из которых можноиспользовать для образования египетской дроби, представляющей единицу.Эрдёш и Грэм высказали предположение, что для любого r>0 и любойr-раскраски целых чисел, больших единицы, имеется конечное одноцветноеподмножество S этих целых чисел, такое что:

nS1n=1,
 и максимальный элемент множества S можно ограничить значением br снекоторой константой b, независимой от r. Известно, что для верностиэтого утверждения необходимо, чтобы b было не меньше числа e.
 Гипотеза доказана в 2003 году, установленная оценка b очень велика —число должно быть не больше e167000. Результат Крута вытекает изболее общей теоремы, утверждающий о существовании представления единицыв виде египетской дроби для множеств C гладких чисел в интервалах вида[X,X1+δ], где C содержит достаточно много чисел, суммаобратных величин которых не меньше шести. Гипотеза Эрдёша — Грэмавыводится из этого результата путём нахождения интервала, в которомсумма обратных величин всех гладких чисел будет как минимум 6r. Такимобразом, если целые числа r-раскрашены, должно существоватьодноцветное подмножество C, удовлетворяющее условию теоремы Крута.