Processing math: 100%

Вписанный четырёхугольник

Вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, вершиныкоторого лежат на окружности. Эта окружность называетсяописанной. Обычно предполагается, что четырёхугольник выпуклый,но бывают и самопересекающиеся вписанные четырёхугольники. Формулы исвойства, данные ниже, верны только для выпуклых четырёхугольников.Все треугольники имеют описанные окружности, но не все четырёхугольники.Примером четырёхугольника, который нельзя вписать в окружность, можетслужить ромб (если только он не является квадратом). Секция «Свойства»ниже даёт необходимые и достаточные условия, чтобы вокругчетырёхугольника можно было описать окружность.

Специальныеслучаи

Любые квадраты, прямоугольники, равнобедренные трапеции илиантипараллелограммы можно вписать в окружность. Дельтоид можно вписать втом и только в том случае, когда у него два угла прямые. — этовписанный четырёхугольник, который также является и описанным, а внешнебицентричный четырёхугольник — это вписанный четырёхугольник, которыйявляется также .

Свойства

Выпуклый невырожденный четырёхугольник является вписанным тогда и толькотогда, когда четыре серединных перпендикуляра, проведённых к каждой изсторон, пересекаются в одной точке.Выпуклый четырёхугольник ABCD является вписанным тогда итолько тогда, когда противоположные углы в сумме дают 180°, то есть.A+C=B+D=π=180.Теорема была Предложением 22 в книге 3 Евклида Начала.Эквивалентно, выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и толькотогда, когда смежный угол равен противоположному внутреннему углу.Другой критерий для того, чтобы выпуклый четырёхугольникABCD был вписанным, требует, чтобы угол между стороной идиагональю был равен углу между противоположной стороной и другойдиагональю. Например,ACB=ADB.Неравенство Птолемея утверждает, что произведение длин двух диагоналейp и q четырёхугольника равно сумме произведенийпротивоположных сторон, только если четырёхугольник вписан:pq=ac+bd.Если две прямые, из которых одна содержит отрезок AC, а другая— отрезок BD, пересекаются в точке P, то четыре точкиA, B, C, D лежат на окружности тогда итолько тогда, когдаAPPC=BPPD.Точка пересечения P может лежать как внутри, так и внеокружности. В первом случае это будет вписанный четырёхугольникABCD, а во втором — вписанный четырёхугольник ABDC. Еслипересечение лежит внутри, равенство означает, что произведение отрезков,на которые точка P делит одну диагональ, равно произведениюотрезков другой диагонали. Это утверждение известно как теорема опересекающихся хордах, поскольку диагонали вписанного четырёхугольникаявляются хордами описанной окружности.Выпуклый четырёхугольник ABCD является вписанным тогда и толькотогда, когдаtanA2tanC2=tanB2tanD2=1.

Площадь

Площадь K вписанного четырёхугольника со сторонами a,b, c, d задаётся формулой БрахмагуптыK=(sa)(sb)(sc)(sd)где s, полупериметр, равен s=12(a+b+c+d). Утверждениеявляется соотношения Бретшнайдера, поскольку противоположные углы всумме дают 180°. Если же d= 0, вписанный четырёхугольникстановится треугольником, и равенство превращается в формулу Герона.Вписанный четырёхугольник имеет максимальную площадь среди всехчетырёхугольников, имеющих ту же последовательность длин сторон. Этодругое следствие соотношения Бретшнайдера. Утверждение можно доказать спомощью математического анализа.Четыре неравные длины, каждая из которых меньше суммы остальных трёх,являются сторонами трёх неконгруэнтных вписанных четырёхугольников, и поформуле Брахмагупты все эти треугольники имеют одинаковую площадь. Вчастности, для сторон a, b, c и d сторонаa может быть противоположной любой из сторон b, cили d. Любые два из этих трёх вписанных четырёхугольников имеютдиагональ одинаковой длины.Площадь вписанного четырёхугольника с последовательными сторонамиa, b, c, d и углом B между сторонамиa и b можно выразить формулойK=12(ab+cd)sinBилиK=12(ac+bd)sinθгде θ — любой угол между диагоналями. Если угол A неявляется прямым, площадь можно выразить формулойK=14(a2b2c2+d2)tanA.Ещё одна формула площадиK=2R2sinAsinBsinθгде R — радиус описанной окружности. Прямым следствием будетK2R2,и неравенство превращается в равенство в том и только в том случае,когда четырёхугольник является квадратом.

Диагонали

Во вписанном четырёхугольнике с вершинами A, B, C,D (в указанной последовательности) и сторонами a =AB, b = BC, c = CD и d =DA длины диагоналей p = AC и q = BDможно выразить через стороныp=(ac+bd)(ad+bc)ab+cdиq=(ac+bd)(ab+cd)ad+bcчто даёт равенство Птолемеяpq=ac+bd.Согласно второй теореме Птолемея,pq=ad+bcab+cdпри тех же обозначениях, что и прежде.Для суммы диагоналей имеем неравенствоp+q2ac+bd.Неравенство становится равенством в том и только в том случае, когдадиагонали имеют одинаковую длину, что можно показать, используянеравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.Более того,(p+q)2(a+c)2+(b+d)2.В любом выпуклом четырёхугольнике две диагонали делят четырёхугольник начетыре треугольника. Во вписанном четырёхугольнике противоположные парыэтих четырёх треугольников подобны.Если M и N являются средними точками диагоналей ACи BD, тоMNEF=12|ACBDBDAC|где E и F — точки пересечения противоположных сторон.Если ABCD — вписанный четырёхугольник и AC пересекаетBD в точке P, тоAPCP=ABCBADCD.

Формулыуглов

Для вписанного четырёхугольника со сторонами a, b,c, d, полупериметром s и углом A междусторонами a и d тригонометрические функции угла AравныcosA=a2+d2b2c22(ad+bc),sinA=2(sa)(sb)(sc)(sd)(ad+bc),tanA2=(sa)(sd)(sb)(sc).Для угла θ между диагоналями выполняетсяtanθ2=(sb)(sd)(sa)(sc).Если продолжения противоположных сторон a и c пересекаютсяпод углом ϕ, тоcosϕ2=(sb)(sd)(b+d)2(ab+cd)(ad+bc)где s — полупериметр

ФормулаПарамешвара

Для вписанного четырёхугольника со сторонами a, b,c, d (в указанной последовательности) и полупериметромs радиус описанной окружности) задаётся формулойR=14(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)(sa)(sb)(sc)(sd).Формула была выведена индийским математиком в 15 веке.Используя формулу Брахмагупты, формулу Парамешвара можно преобразовать в4KR=(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc),где K — площадь вписанного четырёхугольника.

Антицентр иколлинеарность

Четыре отрезка прямых, перпендикулярных одной стороне вписанногочетырёхугольника и проходящих через середину противоположной стороны,пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называетсяантицентром. Антицентр симметричен центру описанной окружностиотносительно ``вершинного центроида''. Таким образом, во вписанномчетырёхугольнике центр описанной окружности, ``вершинный центроид'' иантицентр лежат на одной прямой.Если диагонали вписанного четырёхугольника пересекаются в точкеP, а середины диагоналей — V и W, то антицентрчетырёхугольника является ортоцентром треугольника VWP, авершинный центроид находится в середине отрезка, соединяющего серединыдиагоналей .Во вписанном четырёхугольнике ``центроид площади''Ga, ``центроид вершин'' Gvи пересечение P диагоналей лежат на одной прямой. Для расстояниймежду этими точками выполняется равенствоPGa=43PGv.

Другиесвойства


  • Во вписанном четырёхугольнике ABCD центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA и DAB являются вершинами прямоугольника. Это одна из теорем, известных как японская теорема. Ортоцентры тех же четырёх треугольников являются вершинами четырёхугольника, равного ABCD. Центроиды этих четырёх треугольников являются вершинами другого вписанного четырёхугольника.

  • Во вписанном четырёхугольнике ABCD с центром описанной окружности O пусть P — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда угол APB является средним арифметическим углов AOB и COD. Это является прямым следствием теоремы о вписанном угле и .

  • Не существует вписанных четырёхугольников с рациональной площадью и неравными рациональными сторонами, образующими арифметическую, либо геометрическую прогрессию.

  • Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон, образующие арифметическую прогрессию, то четырёхугольник является также .

  • Если противоположные стороны вписанного четырёхугольника продолжить до пересечения в точках E и F, то внутренние биссектрисы углов в E и F перпендикулярны.

  • Пусть ABCD — вписанный четырёхугольник, A1 — основание перпендикуляра, опущенного из вершины A на диагональ BD; аналогично определяются точки B1,C1,D1. Тогда точки A1,B1,C1,D1 лежат на одной окружности.

ЧетырёхугольникиБрахмагупта

Четырёхугольник Брахмагупты — это вписанный четырёхугольник сцелочисленными длинами сторон, целочисленными длинами диагоналей ицелочисленной площадью. Все четырёхугольники Брахмагупты со сторонамиa, b, c, d, диагоналями e, f, площадью K, ирадиусом описанной окружности R можно получить путём избавленияот знаменателя в следующих выражениях (при рациональных параметрахt, u и v):a=[t(u+v)+(1uv)][u+vt(1uv)]b=(1+u2)(vt)(1+tv)c=t(1+u2)(1+v2)d=(1+v2)(ut)(1+tu)e=u(1+t2)(1+v2)f=v(1+t2)(1+u2)K=uv[2t(1uv)(u+v)(1t2)][2(u+v)t+(1uv)(1t2)]4R=(1+u2)(1+v2)(1+t2).

Свойства ортодиагональных вписанныхчетырёхугольников

Площадь и радиус описаннойокружности

Пусть для вписанного четырёхугольника, являющегося такжеортодиагональным (т.е. имеющим перпендикулярные диагонали), пересечениедиагоналей делит одну диагональ на отрезки длинойp1 и p2, а другую делит наотрезки длиной q1 и q2.Тогда (первое равенство является Предложением 11 в книге Архимеда«Леммы»)D2=p21+p22+q21+q22=a2+c2=b2+d2,где D — диаметр описанной окружности. Равенство выполняетсяввиду того, что диагонали являются перпендикулярными хордами окружности.Отсюда следует, что радиус описанной окружности R удовлетворяетравенствуR=12p21+p22+q21+q22или, через стороны четырёхугольникаR=12a2+c2=12b2+d2.Отсюда также следует, чтоa2+b2+c2+d2=8R2.Таким образом, согласно формуле Эйлера, радиус можно выразить черездиагонали p и q и расстояние x между серединамидиагоналейR=p2+q2+4x28.Формула для площади K вписанного ортодиагональногочетырёхугольника можно получить непосредственно через стороны, еслискомбинировать теорему Птолемея (см. выше) и формулу площадиортодиагонального четырёхугольника. В результате получимK=12(ac+bd).

Другиесвойства


  • Во вписанном ортодиагональном четырёхугольнике антицентр совпадает с точкой пересечения диагоналей.

  • Теорема Брахмагупты утверждает, что во вписанном четырёхугольнике, являющемся также ортодиагональным, перпендикуляр от любой стороны через точку пересечения диагоналей делит противоположную сторону пополам.

  • Если вписанный четырёхугольник является также ортодиагональным, расстояние от центра описанной окружности до любой стороны равно половине длины противоположной стороны .

  • Во вписанном ортодиагональном четырёхугольнике расстояние между серединами диагоналей равно расстоянию между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей .