Лемма Золотарёва

 В теории чисел, Лемма Золотарёва утверждает, что символЛежандра

(ap)
 для целого числа a по модулю нечётного простого числа р,которое не делит a, можно вычислить как знак перестановки:

(ap)=ε(πa)
 где ε обозначает знак перестановки и π является перестановкой ненулевыхвычетов по модулю р , полученной умножением на a.

Доказательство из леммыГаусса


 Лемма Золотарева легко выводится из леммы Гаусса и наоборот. Например,

(311) ,
 является символом Лежандра (a / p) при а = 3 и р =11. Начнём с множества \{1,2, \ldots, р-1\ в виде матрицы издвух строк, так, что сумма двух элементов любого столбца равна нулю помодулю р , например:
12345
109876

 Таким образом, W\textsuperscript−1 = VU. Лемма Золотарёваутверждает, что (a / p) = 1 тогда и только тогда, когдаперестановка U чётная. Лемма Гаусса утверждает, что (a /p) = 1,тогда и только тогда, когда V чётная. Но W чётная,так что обе леммы эквивалентны для данных (но произвольных) a ир.

Общийслучай


 В общем случае, пусть G — любая конечная группа чётного порядка n.Пусть aG — элемент порядка d. С одной стороны, еслиn=2rq,2q, то a — не квадрат в G тогда и только тогда,когда 2rd, то есть nd нечётно, а d — чётно. Сдругой стороны, пусть πa:gag — перестановка,порождённая элементом a. Ясно, что πa может быть разложена впроизведение $\frac{|Таким образом, \pi_aчётнатогдаитолькотогда,когдаa$ —квадрат.
 Утверждение для символа Лежандра получается, если в качестве G взятьгруппу Zp× ненулевых вычетов по модулю p. Порядокэтой группы равен p1, а потому чётный при p>2.

История


 Эта лемма использовалась Егором Ивановичем Золотарёвым в 1872 году в егоновом доказательстве квадратичной взаимности.