Теорема Вейля о равномерном распределении

Теорема Вейля о равномерном распределении формулирует критерийравномерной распределённости бесконечной последовательности вещественныхчисел из отрезка (0;1).
 Теорема была доказана в 1914 и опубликована в 1916 году Германом Вейлем.

Определения


 Пусть ξ1,ξ2, — бесконечная последовательностьвещественных чисел из интервала (0;1)
 Для чисел a,b(0;1), a<b обозначим черезφn(a,b)=#{k:1kn,ξk(a;b)}количество чисел из ξ1,,ξn, лежащих в отрезке (a;b).
 Определим предельное наибольшее отклонение какDξ=limsupn(ϕn(a,b)n(ba)).
 Последовательность ξ1,ξ2, называется равномернораспределённой в (0;1) если Dξ=0. Иными словами,последовательность равномерно распределённа в (0;1) если в любомненулевом отрезке доля элементов, попадающих в этот отрезок, стремится кдоле размера отрезка в (0;1).

Формулировкатеоремы


 Последовательность(ξn)n=1,ξn(0;1) равномернораспределена в (0;1) тогда и только тогда, когда для любойинтегрируемой по Риману на отрезке (0;1) функции f выполняетсятождество:

limn1nk=1nf(ξk)=01f(x)dx
 - \{int\_\{0\}\^\{1\} \{f(x) dx\}\}\{Bigg\textbar = \{Bigg\textbar\{\{int\_\{0\}\^\{1\} \{f\_1(x) dx\} -\{int\_\{0\}\^\{1\} \{f(x) dx\}\}\{Bigg\textbar \textless \{varepsilon

N: n>N: |1nk=1nf1(ξk)01f(x)dx|<2ε
 Так как из определению f1 следует$\Bigg|{ \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f (\xi_k)} - \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f_1 (\xi_k)} }\Bigg| = \Bigg|{ \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {(f (\xi_k) - f_1(\xi_k))} }\Bigg| < \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {|
 : \Bigg|{ \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f (\xi_k)} - \int_{0}^{1} {f(x) dx} }\Bigg| < \varepsilon$,
 Так как в эти рассуждения можно подставить сколь угодно малоеε>0, то это и означает, что

limn1nk=1nf(ξk)=01f(x)dx
 \}\}

Следствия


Критерий с тригонометрическимисуммами


 Теорема Вейля позволяет вывести прямую связь равномерности распределенияс тригонометрическими суммами.
 Последовательность(ξn)n=1,ξn(0;1) равномернораспределена в (0;1) тогда и только тогда, когда для любого целогоm0 выполнено

limn1nk=1ne2πmξki=0
 Доказательство последнего утверждения проводится аналогичнодоказательству основной теоремы (см. выше), только вместо аппроксимациикусочно-линейной функцией используется аппроксимация частичными суммамиряда Фурье.
 Константа 0 в формуле фактически является значением интеграла01e2πmxidx=0.

agraphДробные части от кратныхиррациональным
 Благодаря формулировке теоремы, использующей тригонометрические суммы,легко вывести следующий результат:
 Обозначим через {x} дробную часть числа x
 Если ξR — иррациональное число, топоследовательность{ξ},{2ξ},{3ξ},,{nξ},равномерно распределена в (0;1).
 \}\{Bigg\{vert =\{Bigg\{vert\{\{frac\{e\^\{2 \{pi m \{xi\}- e\^\{2 \{pi m (n + 1) \{xi\}\}\{1 -e\^\{2 \{pi m \{xi\}\}\}\{Bigg\{vert =\{frac\{\{vert\{ e\^\{2 \{pim \{xi\} - e\^\{2 \{pi m (n + 1)\{xi\} \}\{vert\}\{\{vert\{e\^\{2 \{pi m \{xi\} - 1\}\{vert\} \textless\{frac\{2\}\{\{vert\{ e\^\{2\{pi m \{xi\} - 1 \}\{vert\}
 Так как величина |e2πmξ1| не зависит от n,то при каждом отдельном фиксированном m0 из неравенства вышеследует

limn1nk=1ne2πmkξi=0
 \}\}